ベクトル幾何学では、2 つのベクトル
$$ {\vec u} $$
そして$$ {\vec v} $$
次のようなスカラーk が存在する場合に限り、共線的になります。 $$ {\vec v = k\vec u} $$
または$$ {\vec u = k\vec v} $$
。語源的には、共線的とは同じ線上を意味することに注意してください。実際、アフィン幾何学では、2 つのベクトルが同一直線上に位置する 2 つのベクトルの代表が存在する場合、つまり、
- $$ {\overrightarrow{AB} = \vec u} $$そして$$ {\overrightarrow{AC} = \vec v} $$
- 整列: ベクトルが一致する場合にのみ、点 A、B、および C は整列されます。 $$ {\overrightarrow{AB}} $$そして$$ {\overrightarrow{AC}} $$同一線上にあります。
- 2 つの直線の平行度: ベクトルが次の場合に限り、直線 (AB) と (CD) は平行になります。 $$ {\overrightarrow{AB}} $$そして$$ {\overrightarrow{CD}} $$同一直線上にある
ゼロベクトルがベクトル空間内の他のベクトルと同一線上にあることがわかります。
非ゼロ ベクトルのセットでは、共線性関係は次のようになります。
- 再帰的: ベクトルはそれ自体と同一直線上にあります
- 対称: ベクトルの場合$$ {\vec u} $$ベクトルと同一線上にあります$$ {\vec v} $$それで$$ {\vec v} $$～と同一線上にあります$$ {\vec u} $$
- 推移的: ベクトルの場合$$ {\vec u} $$～と同一線上にあります$$ {\vec v} $$そしてもし$$ {\vec v} $$～と同一線上にあります$$ {\vec w} $$それで$$ {\vec u} $$～と同一線上にあります$$ {\vec w} $$
これにより、(非ゼロベクトルのセット上で) 共線性関係は同値関係であり、その同値クラスがベクトル空間に関連付けられた射影空間を形成すると言えます。