線形代数では、三角行列は、主対角線で区切られた値の三角部分がゼロである正方行列です。
上三角行列
これらは、主対角の下の値がゼロである正方行列です。
- $$ {A = (a_{i,j}) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & \cdots & a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} & & & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}} $$
次の場合、 A は上三角形です。
- $$ {\forall i width=} $$j,\quad a_{i,j}=0″ >
下三角行列
これらは、主対角より上の値がゼロである正方行列です。
- $$ {A = (a_{i,j}) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & 0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & \cdots & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}} $$
次の場合、 A は下三角形です。
- $$ {\forall i
三角行列の性質
- 2 つの上三角行列の積は、上三角行列です。
- 上三角行列の転置は下三角行列であり、その逆も同様です。
- 三角行列 A は、そのすべての対角項が非ゼロである場合にのみ可逆です。この場合、その逆行列も三角行列になります (A が高ければ上、そうでなければ下)。
- 三角行列の固有値はその対角項です。
- A が n 次の三角行列の場合、三角行列の行列式はその対角要素の積に等しくなります。
- $$ {\det{(A)} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}} $$
