Diagonalisation - Définition - サイエンス・ハブ

イチジク。 1. 辺が固有ベクトルの基底によって形成される平行面の対角化可能な準同型写像による修正。

対角化は線形代数のプロセスです。これはベクトル空間の準同型写像に適用されます。これは、固有ベクトルで構成されるベクトル空間の基底を検索することで構成されます。

このプロセスは、準同型性縮小のファミリーに分類されます。この縮小は、部分空間に対する準同型性の制限を簡単に記述できるように、特定の準同型性に対してベクトル空間全体をその準同型性によって安定な部分空間の直接和に分解することから構成されます。対角化可能な準同型性の場合、リダクションは特に単純な形式になります。つまり、線形マップはこれらの部分空間のそれぞれでの相似性になります。図 1 は、対角化可能な準同型性による固有ベクトルの基底の変換を示しています。これらのベクトルの画像は背景に比例します。

このアプローチには、行列言語でも同等のものがあります。このような準同型性の行列は対角化可能であると言われます。対角行列に似ているのが特徴です。対角化という用語は行列言語に由来します。

意味

ベクトル空間Eの準同型性uは、次の同等の特性のいずれかを満たしている場合、対角化可能であると言われます。

uの固有ベクトルからなるEの基底が存在します。
uの固有部分空間の (必然的に直接的な) 合計は空間Eです。

Eが有限次元の場合、 2 番目のプロパティを次のように再定式化できます。適切な部分空間の次元の合計は空間全体の次元に等しいです。

デモンストレーション

次の 3 つのプロパティが同等であることを示します。

固有ベクトルの基礎があります。
固有部分空間の和は空間全体と一致します。
固有部分空間の次元の合計は、空間全体の次元に等しくなります。

これは、「複数のベクトル部分空間の直接和」の記事で説明されている 3 つの等価性を直接適用したものです。

これらの命題と、関連する行列を扱う命題との間の等価性は、対角行列の記事で示されています。

したがって、これら 4 つの命題間の等価性により、用語「対角化可能」を定義することが可能になります。

動機

削減

詳細は「内部同型性の低減」を参照

内部同型写像は、理論的および実践的な枠組みの両方で広く使用されている構造です。記事「準同型性」では複数の例が示されています。ただし、内部同型性の計算は、特に内部合成の法則の場合、複雑になることがよくあります。したがって、できるだけシンプルな動作モードにすることが重要です。この目標を達成するための良いアプローチは、リダクションの概念を使用することです。対角化は特殊なケースとして示されており、対応する記事でより一般的に扱われます。対角化可能な場合、部分空間への分解で構成されるリダクションにより、部分空間に次の 5 つの強力な特性が与えられます。

部分空間の合計により空間全体が生成されます
部分空間の和は直接的です
各部分空間は次元 1 であるため、部分空間の合計は基数で最大になります。
各部分空間は準同型性により安定である
部分空間への準同型性の制限は相似性です。

この縮小は、固有ベクトルの基底の要素によってそれぞれ生成される空間で構成されます。

この縮小により、準同型性を完全に説明する分析フレームワークが提供されます。これには冗長性が含まれていないため、このリダクションでベクトルを分解する方法は 1 つしかありません。部分空間は次元 1 であり、準同型性の制限は相似であるため、これは可能な限り単純です。対角化は、縮小の最も好ましい構成に対応します。

対角化可能な準同型写像の場合

この事件は 2 つの点で興味深い。

準同型性の対角化可能な側面を決定するための基準が不足することはありません。線形代数にはいくつかの方法があります。固有ベクトル解析により、必要十分条件が得られます。内部同型多項式の理論は、他の、場合によってはより操作可能な多項式を提供します。他の基準としては、たとえば距離などが挙げられます。その後、対角化ツールは純粋な線形代数を離れ、二次形式またはセスキ線形形式のフレームワーク内に配置されます。関数分析は、無限次元の対角化への道を開くこともできます。したがって、実用的および理論的レベルの両方で、対角化が可能であることが判明した場合にそれを実行するためのツールが豊富にあります。

良好な条件下では、準同型性は対角化可能であることがよくあります。有限次元の場合、ベクトル空間に関連付けられた場が代数的に閉じている場合、それらは測定の意味でほとんど常に対角化可能です。対角化可能な場合が測定の意味で頻繁に発生する場合は、トポロジーでも頻繁に発生するため、対角化可能な準同型性のセットはどこでも密になります。実数の場合、理論的な場合でも実際の応用でも、複素ベクトル空間構造を備えた 2 次元空間にベクトル空間を埋め込むのが一般的です。この手法により、対角化可能なケースが頻繁に発生します。

アプリケーション

アプリケーションが多すぎるため、この記事で完全に説明することはできません。

線形代数に適用されるケースについては、対角行列の記事で例が示されています。

物理学、統計学、工学科学などの純粋に数学的目的以外での使用例については、「固有値」の記事に記載されています。

ここでは、線形代数の厳密な枠組みを超える 4 つの理論的ケースのみを扱います。これらは、それぞれ異なる文脈で、対角化可能な場合のリダクションの力を示しています。

可換の場合を例とした、有限群の有限群の表現理論。

2 つのユークリッド距離またはエルミート距離間の関係。スペクトル定理の文脈での対角化は、最初の距離には正規直交基底が存在し、2 番目の距離には直交基底が存在することを示します。

リー群と線形微分方程式の両方の研究で使用される実数と複素準同型性の指数関数

区間 [0, 2π] で定義された加算可能な二乗複素関数のヒルベルトに基づいて導出された線形関数の対角化。

プロパティ

代数的性質

トポロジと測定

イチジク。 2. 複合体の本体上に非対角化不可能な準同型性が付着していることを表すテーブルクロス。

準同型性の代数は、関数解析のコンテキストで、またはリー群などの連続構造の表現に使用されることがあります。そのトポロジカルな特性は、たとえ有限次元であっても、特定のデモンストレーションに必要になります。

非対角化不可能な準同型性は、複素数および有限次元の場合のトポロジーと測定の両方の点で顕著な特性を持っています。これらの仮定の下では、次の特性が当てはまります。

非対角化不可能な準同型写像のセットの固着とは、少なくとも 2 に等しい次元の特徴的な部分空間を有する準同型写像のセットである。

対角化不可能な内部同型写像のセットはまれです。つまり、その固着は空の内部です。

対角化不可能な準同型写像のセットはメジャーゼロを持ちます。

対角化可能な準同型性のセットは高密度です。

対角化可能な準同型性のセットは円弧で接続されているため、接続されています。

図 2 はその状況を示しています。これは、次元 2 の空間の実準同型性の代数を表します。この代数は次元 4 のものです。次元 3 での表現の場合、縦軸は-bとcの積を表します。対角化不可能な準同型性の付着は、4 次元の空間 (図では 2 次元) の 3 次元の円錐として現れます。空間は 2 つの連結成分に分解され、上部は複素体上でのみ対角化可能な準同型写像を表し、下部は実数上で対角化可能な準同型写像を表し、曲面は非対角化可能な準同型体の付着を表します。方程式d = a 、 b = c = 0 の線は、接着の準同型線ですが対角化可能です。示されているケースでは、これらは相似性です。

連続性による拡張が可能であれば、対角化可能な準同型性に関する性質はどこでも当てはまります。この性質を実証する例として、指数関数の計算を示します。

実際の場合は状況が異なります。たとえば、ベクトル空間が 2 次元の場合、空間は円錐によって 2 つの連結成分に分離されます。 1 つの成分には対角化可能な準同型性のみが含まれ、もう 1 つの成分には非対角化可能な準同型性のみが含まれており、円錐曲線には両方の状況が含まれています。

デモンストレーション

非対角化不可能な準同型写像のセットの固着とは、少なくとも 2 に等しい次元の特徴的な部分空間を有する準同型写像のセットである。

少なくとも 2 次元に等しい固有部分空間を持つ準同型写像u が癒着要素であることを示しましょう。

u が対角化できない場合、結果は明らかです。次に、 u が対角化可能で、次元 2 以上の固有部分空間Fを持つと仮定します。 Fとは異なる固有部分空間上で 0 であり、 F上で非ゼロで零能である準同型性nが存在します。次に、 λ がセグメント[0,1]を横切る準同型性d+λnのセグメントを考えてみましょう。セグメント準同型性は、 d を除いてすべて非対角化可能です。これは、 d が非対角化不可能な準同型性の付着の要素であることを示しています。

したがって、このセットの補集合が開いていることを示すだけで十分です。この補数は、次元 1 の固有部分空間のみを含む対角化可能な準同型性のセットです。 u をこの性質の準同型性とし、 n を空間の次元とします。補語に含まれ、 uを含む開いたO が存在することを示すだけで十分です。 nが 1 に等しい場合、どの準同型性も対角化可能であり、結果が証明されます。それ以外の場合、この多項式にはn 個の異なる根があり、次数nであるため、特性多項式Pのすべての根は異なります。 f を、根間の最小距離を次数nの多項式に関連付ける関数とします。この関数は連続的です (0 を除く)。区間]f(P)/2, 2f(P)[の逆像は、 P を含む多項式の空間の開です。空間の同型写像にその特徴的な多項式を関連付ける関数は連続的であるため、前の開の逆像はOで示される開であり、定義によりu を含みます。 Oは、要素にn 個の異なる根を持つ特性多項式が含まれる開です。 Oは確かに補語に含まれており、デモンストレーションは終了します。

対角化できない準同型性のセットはまれです。

準同型性u を考えてみましょう。 d を、 uの個別の固有値間の最小距離と n の商とします。どちらか

$$ {(e_i)\;} $$

この基底におけるuの行列表現がジョルダン還元となるようなベクトルの基底。最後に、v _{λ を}準同型性とします。

$$ {e_i\;} $$

パートナー

$$ {i\lambda e_i\;} $$

ここで、 λ は厳密に正の実数です。 u + v _λの特性多項式を計算すると、 λがdより小さい場合、その根はすべて別個であり、準同型写像u + v _{λ は}対角化可能であり、その固有部分空間はすべて1に等しい次元であることがわかります。必要なだけ小さくても、非対角化不可能な準同型性のセットの付着の近傍は、固有部分空間が次元 1 である対角化可能な準同型性と遭遇することを実証しました。

対角化不可能な準同型写像のセットはメジャーゼロを持ちます。

このセットは希少であるため、測定値はゼロです

対角化可能な準同型性のセットは高密度です。

補完が少ないので全体が濃い。

対角化可能な準同型性のセットは円弧で接続されているため、接続されています。

uとv を2 つの対角化可能な準同型性とします。この場合、セグメント[u,0]と[0,v]は対角化可能な準同型性で構成され、円弧による接続性を示します。

図2の分析

マトリックス

$$ {A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}} $$

a は特性多項式X ² − ( a + d ) X − a d − b cであり、その判別式は( a − d ) ² + 4 b cです。特性多項式が単純な実根で分割される場合、この行列は実数体で対角化できます。この条件は、判別式の正数によって表されます: ( a − d ) ² > − 4 b c 。選択した表現では、これは色付きのテーブルクロスの下の領域に対応します。複素数フィールドの対角化可能性は、多項式が単純な複素根で単純に分割される場合に真となります。これは、判別式の非ヌル性によって表されます。

$$ {(a-d)^2\neq -4bc} $$

。選択された表現では、これは色のテーブルクロスの補色に対応します。

最後に、テーブルクロスの点に対応する行列の対角化可能性の分析については、簡単なコメントで結論を得ることができます。特性多項式に二重酸がある場合、関連する準同型性は相似でb = c = 0であるか、または準同型性が非対角化可能です。

アプリケーション

線形代数の厳密な枠組み内での応用については、「対角行列」の記事を参照してください。この段落には、元の範囲を超える文脈で線形代数を使用する例が含まれています。これらは、数学のさまざまな分野における対角化の概念の豊かさを示しています。構造上、例を理解するには、対角行列に関する記事で説明されているものよりも広範な数学的教養が必要です。

可換有限群表現

最初の例は、群理論に由来する純粋な代数の場合を扱います。基数が有限であるグループに限定されます。一般的な場合が非常に広大で複雑であることが判明した場合、例外として有限アーベル群の構造があり、これははるかに単純です。

段落の残りの部分では、 G は有限可換群を示します。この理論の分析への 1 つのアプローチは、群Gの表現φ を確立することから構成されます。表現を確立することは、グループのイメージを分析できる特定の数のツールを持つ構造に向けて、グループ射を定義することに相当します。このアプローチは、数学の 2 つの分野の間に橋を架けることから成り、有益であることが証明されています。したがって、広く使用されています。この特定のケースは一例です。

ここで研究したケースでは、射の到達構造は直交群です

$$ {SO_n(\mathbb C)\;} $$

群の基数と同じ次元nのエルミートベクトル空間Eの。これはグループ行動の典型的なケースです。つまり、グループがセット、この場合はEに対して行動します。

グループGの要素を使用してEの正規直交基底を識別することが可能です。したがって、ファミリー( g _i )はグループを表すだけでなく、塩基も表します。 Cayley の定理は、 Gの順列の集合におけるGの射は次のように定義されることを示しています。

$$ {\forall g \in G \; \phi (g).g_i= g.g_i \;} $$

は単射群射です。マップφ( g )はEの 1 つの順列です。この順列を準同型に拡張することが可能です。実際、内部同型性は塩基のイメージによって明確に定義されます。正規直交基底のφ( g )による画像は依然として正規直交基底であり、実際には元の基底の順列に等しい。これは、最終アセンブリが実際に

$$ {SO_n(\mathbb C)\;} $$

。 Cayley の定理は、アプリケーションが単射的であることを保証します。結論として、この表現はそのイメージ上のGの同型写像です。したがって、 Gの要素をその作用、つまり直交準同型性によって識別することが可能です。

このアプローチは、任意の有限群が次の有限部分群内で同型表現を持つことを示します。

$$ {SO_n(\mathbb C)\;} $$

。この結果により、表現上の対角化手法にアクセスできるようになり、次の結果を表示できるようになります。

グループ表現のすべての要素を対角化する基底があります。

この結果には次のような帰結があります。

任意の有限アーベル群はサイクルの積と同型です。

注: この結果は、もう少し限定的な形式でガロア理論に使用されます。使用される本体は、もはや複素数の本体ではなく、代数の拡張です。この拡張には、unity の n n 乗根が含まれています。多くの場合、この代数拡張は、1 の n 番目の原始根を含む有理数体の拡張です。この仮定は、グループの要素の表現の各最小多項式を分割するのに十分です。

デモンストレーション

証明は、 Gのすべての要素を同時に対角化するEの基底を見つけることで構成されます。 ( e _i ) をそのような基底とします。この場合、 e _iによって生成されるベクトル空間へのφ( g )の制限は、これらが次元 1 の空間の唯一の準同型であるため、相似性となります。群論のラグランジュの定理は、 φ( g ) ⁿ = I dであることを保証します。相等性の比は 1 の n 乗根です。

したがって、 Gの行列表現は、一意の固有値として 1 の n 乗根を持つ対角行列の有限群に似ています。したがって、この行列表現はサイクルの積と同型です。

残っているのは、塩基( e _i )の存在を証明することだけです。このためには、既約表現の定義を確立する必要があります。表現は、 G の作用下で安定したベクトル部分空間が存在しない場合、つまりφ( g )のすべての要素が存在しない場合に限り、既約であると言われます。詳細については、グループ表現に関する記事で説明します。ベクトル部分空間がGの作用下で安定している場合、その直交空間も安定していることがわかります。これは、ベクトル部分空間がGの各要素に対して安定しているためです。これは、空間Eが常に既約部分空間の直接和に分解されることを示しています。結論として、次元 1 の既約部分空間の直接和分解を見つけるだけで十分です。この存在は、シュールの補題の系 2で実証されています。

有限次元における 2 つのユークリッド距離またはエルミート距離の場合

イチジク。 1.赤い球は最初の距離の単位球を表し、青い図は 2 番目の距離の単位球を表します。青い図は、最初の距離に対して直交する軸を選択できる楕円体です。

詳細は「スペクトル定理」を参照

もう 1 つの重要なケースは、十分な距離が設けられた空間の、より豊かな理論的文脈によって与えられます。ここでも対角化が中心的な役割を果たします。前の例と同様に、使用されるメソッドは線形代数の純粋なフレームワークとは異なります。

双線形代数は、2 つの変数を各変数に対して線形に適用する研究です。これは、ユークリッド距離という特に重要なケースを認めます。 2点を通常の距離に対応付けるアプリケーションです。距離の二乗は各点で線形であることがわかります (ここでは点はベクトルとして考えられます)。この古くから知られている特性はピタゴラスの定理と呼ばれます。この概念は、もはや実数ではなく複素数のベクトル空間を考慮すると一般化されます。この一般化によりエルミート距離が定義されます。

この距離の概念は、双一次形式の正確な語彙、つまり数値を 2 つのベクトルに関連付け、各ベクトルに対して線形であるアプリケーションで表現できます。 φ をそのような形式と呼ぶ場合、2 つのベクトルxおよびyに対してφ(x,y)とφ(y,x)が等しい場合、 φは対称であると言われます。このプロパティは距離に対して当てはまります。これは、 xとy の間の距離がyとxの間の距離と同じであることを意味します。複雑な場合、正しい対称性はエルミート対称性です。関連する概念はセスキリニア形式の概念です。これは、 φ(x,y)がφ(y,x)の共役数であることを意味します。距離の場合、ベクトルの二乗の長さは数値φ(x,x)で与えられます。この数値は常に正です。このため、 φ(x,x)が常に正である場合、二次形式またはエルミート形式は正であると言えます。ベクトルは、それがゼロベクトルである場合にのみ、長さがゼロになります。したがって、対称またはエルミート双線形形式は、それが正である場合にのみ正定値であり、等式φ(x,x) = 0 はx がゼロベクトルであることを意味すると言います。実際、ピタゴラスの定理の基本的な帰結は、ユークリッド距離と、スカラー積とも呼ばれる正定対称双一次形式との間に等価性があるということです。

双線形代数の最も重要な結果の 1 つは、ベクトル空間に 2 つのユークリッド距離またはエルミート距離が与えられている場合、最初の距離については正規直交し、2 番目の距離については直交する基底が存在するという事実にあります。この結果はスペクトル定理の結果です。この定理は、固有ベクトルの概念から直接得られます。実際、この基底は良好な内部同型性の固有ベクトルの基底として現れます。図 1 に例を示します。固有値は、青い図とベースの軸の間の交点の正の横座標です。

追加のデモンストレーションと定義

注意させていただきます

$$ {(x,y) \; avec \; x,y\in E \;} $$

、または

$$ {E\;} $$

はベクトル空間、つまり距離dに関連付けられたスカラー積を示します。これは次の等価性を意味します。

$$ {\forall x,y \in E \quad d(x,y)^2\; =\; (x-y,x-y)\;} $$

どちらか

$$ {

\; x、y を使用して\; \in E \;” > 任意の双一次形式。すると、次のプロパティが得られます。

次のような固有の準同型写像fが存在します。 $$ {\forall x,y \in E \;

\; =\; (f(x),y)\;” >。これは、ユークリッドまたはエルミートのベクトル空間で内部同型写像と双線形形式の間に正準全単射が存在することを意味します。

デモ: x を与えられたベクトルとし、それを関連付けるアプリケーションを考えます。は線形、つまりEの双対空間の要素です。ここで、スカラー積は、ベクトル空間とその双対の間の正準全単射を定義します。 f(x) を双対要素の正準全単射によって前件として表します。したがって、正準全単射の定義により、次のようになります。

$$ {\forall y \in E \;

\; =\; (f(x),y)\;” >

f(x)をxに関連付けるアプリケーションをf と表します。次に、このアプリケーションが線形であることを簡単に示します。

共同写像f は、双一次形式< , >が実数の場合には対称であるか、複素数の場合にエルミートである場合にのみ、自己共役であると言われます。

共同型f は、双一次形式< , >が実数の場合には対称であるか、複素正定値の場合にエルミートである場合に限り、自己随伴正定値であると言われます。

私たちが興味を持っているケースでは、2 番目の双一次形式はスカラー積であり、 f は正定値の自己共役準同型性です。 fの固有ベクトルからなる最初のスカラー積には正規直交基底が存在することを示します。

f を自己共役内部同型性とすると、すべての実固有値に関連付けられた固有ベクトルの正規直交基底が存在します。

実証: スペクトル定理の記事は、すべて実数の固有値に関連付けられた固有ベクトルの直交基底が存在することを示しています。結果を得るには、このベースを標準化するだけで十分です。 fの正のプロパティを使用する必要がないことに注意してください。

固有ベクトルの正規直交基底は、2 番目の内積に対して直交します。

デモンストレーション: どちらか

$$ {e_i\; et \; e_j} $$

固有値基底の 2 つの異なるベクトル

$$ {\lambda_i\; et \; \lambda_j} $$

。次の等式は直交性を示しています。

$$ {

\; =\; (f(e_i),e_j)\; =\; \overline{\lambda_i}(e_i,e_j)\; =\; 0\;” >

以上でデモンストレーションは終了です。

指数関数的

詳細は「線形微分方程式」を参照

対角化テクニックは代数の場合をはるかに超えています。ここで示す例は、機能分析の場合を扱います。このコンテキストではよくあることですが、追加のトポロジー上の考慮事項が必要です。

微分方程式には重要な特殊なケースがあり、それは微分方程式が線形である場合です。線形微分方程式に関する記事では、その分解能が次の方程式の分解能と密接に関係していることが示されています。ここで、 a は準同型性を示します。

$$ {\frac{d}{dt}\phi\; = \; a.\phi \quad avec\quad \phi(0)=Id} $$

準同型性の空間上の指数関数は、この方程式の一意の解です。ただし、実数または複素数の有限次元では、対角化を使用した解析により、この関数が次の一連の準同型性の形で表現されることがわかります。

$$ {\exp(a)\; = \; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \;} $$

この関数はさらに次のプロパティをチェックします。

もし

$$ {ab = ba\,} $$

それで

$$ {\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)\,} $$

解を効果的に計算するには、準同型性の低減をさらに分析する必要があります。

ここで示したデモは最も一般的なものではありません。同様の結果がバナッハ代数でも証明されています。

デモンストレーション

実数体または複素数体の有限次元準同型空間には、次の方程式を満たす実数または複素数変数の一意の関数exp が存在します。

$$ {(1)\quad \forall t \; \frac {d}{dt}\phi (ta)\; = \; a.\phi (ta)\quad avec \quad \phi (0)\; = \; Id \;} $$

この関数は次のように定義されます。

$$ {exp(ta)\; = \; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^na^n}{n!} \;} $$

証明:存在と一意性は、コーシー-リプシッツの定理によって保証されます。級数の収束は、その絶対収束によって保証されます。次のデモでは、ユニットボールの sup 端子のデモを使用します。準同型性が連続である場合、収束は有限次元を仮定しないことに注意する必要がある。

aが対角化可能な場合。どちらか

$$ {(e_i)\;} $$

固有ベクトル、固有値のベース

$$ {(\lambda_i)\;} $$

。次に、準同型性exp を考えます。ベース内の要素をチェックします。

$$ {\forall i\; \forall t \quad (a.exp(ta))(e_i)\; = \; a (e^{(\lambda_i t)}e_i)\; =\; \lambda_i e^{(\lambda_i t)}e_i\; = \; \frac{d}{dt}\exp(ta)(e_i)\quad avec \quad exp(0)(e_i)\; = \; e_i} $$

したがって、式 (1) は関数expのベクトル空間ベースで検証されます。この方程式は線形であるため、どこでも検証されます。

aが任意の複雑な場合。次に、トポロジカルな議論を使用してみましょう。対角化可能な内部同型性のセットは内部同型性の空間に密集していることに注意してください。なので続編も考えられる

$$ {(a_i)\;} $$

に収束する対角準同型写像の。次に関数のシーケンスを考えてみましょう

$$ {(t\rightarrow exp(ta_i))\;} $$

、導関数のシーケンスは、与えられたtの値の周りに中心aを持つ任意のボールに一様に収束します。これと同じシーケンスは単純に収束します。したがって、極限まで通過すると、指数関数を使用してaについて等式 (1) が検証されます。

実際のケース。ベクトル空間を複素ベクトル空間に拡張するだけで十分であり、その後、等式 (1) が検証されます。したがって、実際のケースへの還元も検証されます。

もし$$ {ab = ba\,} $$

それで

$$ {\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)\,} $$

まず、準同型性を証明しましょう。

$$ {b\;} $$

そして

$$ {\exp (a)\;} $$

スイッチ。どちらか

$$ {\epsilon \;} $$

厳密に正の実数。指数関数を定義する級数は絶対に収束するため、次のような整数 p が存在します。

$$ {||\exp (a) – \sum_{n=0}^{p} \frac{a^n}{n!}|| < \frac {\epsilon}{2||b||} \;} $$

この増加は、次の 2 つの不平等を示しています。

$$ {||\exp (a)b – \sum_{n=0}^{p} \frac{a^nb}{n!}|| < \frac {\epsilon}{2} \;} $$

さらに、 b はaと可換であるため、 aのすべての累乗も使用されます。これは、前の 2 つの増加を加算すると、次のことを示しています。

$$ {||b\exp (a) – \exp (a)b|| < \epsilon \;} $$

最後の不等式は、望ましい可換性を示しています。

次に、次の微分方程式の解を求めてみましょう。

$$ {\frac{d}{dt}\phi\; = \; b.\phi \quad avec\quad \phi(0)=\exp (a)} $$

次の 2 つの計算:

$$ {\frac{d}{dt}\exp (a+tb)\; = \; b.\exp (a+tb) \quad avec\quad \exp (a+0b)=\exp (a)} $$

$$ {\frac{d}{dt}\exp (a). \exp (tb)\; =\; \exp (a).b.\exp (tb)\; = \; b.\exp (a).\exp (tb) \q

Diagonalisation – Définition

意味

動機