導入
数学では、既約表現は群の表現理論の枠組み内で使用される概念です。
既約表現は、それ自体とヌル表現のみを過少表現として認める表現です。
マシュケの定理は、多くの場合、表現は既約表現の直接和であることを示しているため、この概念は重要です。
定義と例
定義
記事の残りの部分では、 G は群を示し、( V , ρ) は体K上のGの線形表現を示します。
- 表現 (V, ρ) は、唯一の安定な部分空間がVとゼロベクトルである場合に限り、既約であると言われます。
- 表現の性質は、関連する表現が既約である場合に限り、既約であると言われます。
表現理論もGモジュールで表現されます。 V は当然Gモジュールの構造を持ちます。この文脈では、定義は次の形式になります。
- 表現 (V, ρ) は、 V がG加群として単純である場合に限り、既約であると言われます。
- 表現 (V, ρ) は、ヌル表現とは異なる唯一の安定な既約部分空間がペアごとに同型である場合に限り、同型であると言われます。
例
次元1のすべての表現は既約です。
インデックス 3 を持つ対称群の既約で忠実な表現は1 つだけです。記事「インデックス 3 の対称グループの表現」および「インデックス 4 の対称グループの表現」には、これらのグループの既約表現の徹底的な分析が含まれています。
V が2 次元の実ベクトル空間を表し、 G がVの線形アイソメトリのグループを表す場合、 Gの恒等式は既約表現です。
有限群の場合
この段落では、 G が有限群gであり、 Kの標数が 0 または群の位数と素数であると仮定します。マシュケの定理が適用されます。ここで、 ( W , σ) は次数dの G の既約表現を表します。最後に、多項式X g – 1 がKに分割されると仮定します。
キャラクター
この文脈では、表現の性質は正準エルミート積を持ち、それは表現の既約性を決定するための便利な必要十分条件を提供します。
- 文字は、正規のエルミート積によるノルムが 1 に等しい場合に限り、既約です。
デモは関連記事に記載されています。
正規表現
( V , ρ) をGの正規表現とします。これには、より正確には、1 つの同型写像までのGの既約表現がすべて含まれています。
- Vには厳密に d個の不変部分空間Wi が存在し、ペアごとの交差がゼロであるため、正則表現 ρ の Wi への制限は( W , σ)と同型になります。
この分解は一意ではありません。 VのWと同型の部分空間の数は一般にdよりも大きくなりますが、それらは直接和にはなりません。それにもかかわらず、正規表現には独自の分解が存在します。
- Wと同型のすべての部分空間を含むVの一意の最大部分空間 S W が存在します。これは、VのWの同型成分と呼ばれます。
このアイソタイプ成分への分解は、 Gのどの表現にも固有であり、標準分解と呼ばれます。
デモは関連記事に記載されています。
中枢機能
中心関数の概念、つまり各共役クラスの群G定数の関数により、既約表現の数を正確に決定することが可能になります。
- グループ内の活用クラスと同じ数の個別の既約表現が存在します。
デモは関連記事に記載されています。
群代数
代数K [ G ] は、正則表現の代数構造の強化に対応します。代数学の中心は可換環であり、その上で算術の定理を使用することができます。これらにより、たとえば、次の特性を示すことが可能になります。
- 既約表現の次数によって群の順序が分割されます。
デモは関連記事に記載されています。
テンソル積
テンソル積は、2 つの群G 1とG 2の表現とG 1とG 2の直積Gの間に全単射を導入します。
- ( W , σ) が G 1とG 2の直積群であるGの既約表現である場合、G 1の既約表現 ( W 1 , σ 1 )と、次の 1 つ (W 2 , σ 2 ) が存在します。 ( W , σ) が前の 2 つの表現のテンソル積と同型であるような G 2 。逆に、 G 1とG 2の 2 つの既約表現のテンソル積は、 Gの既約表現です。
デモは関連記事に記載されています。
誘導表現
N がGの正規正規部分群である場合、誘導表現により、( W , σ) と σ のNに対する制限との間の関係を確立することができます。
- Nと、 ( W , σ) が既約表現 ( W 1 , θ) によって誘導される表現であるような異なる G を含むGの部分群 H が存在するか、Nへの σ の制限が同型であるかのいずれかです。
次の結果が導き出されます。
- N が Gのアーベル正規部分群である場合、既約表現の次数は商群G / N の次数を分割します。
さらに、マッキーの既約基準は、誘導表現が既約であるための必要十分条件を提供することに留意すべきである。
- Nと、( W , σ) が既約表現 ( W 1 , θ) によって誘導される表現であるような異なるGを含むGの部分群H が存在するか、 Nへの σ の制限が同型であるかのいずれかです。
W i ( i は1 からnまで変化します) を、σ からNへの制限のアイソタイプ成分への正規分解とします。すると次の等式が成り立ちます。
s がGの要素であり、 i が1 からnまでの整数である場合、 σ( s ) W i は依然としてアイソタイプ成分です。 W はGの既約表現であるため、群 σ( G ) の作用はWiの族に対して推移的であることに注意してください。
nが 1 に等しい場合、つまりW 1がWに等しい場合、σ のNに対する制限はアイソタイプ表現です。
それ以外の場合は、 W 1 を全体的に不変のままにする要素によって形成されるGの部分群H を考慮します。 θ’ をHに対する σ の制限とし、θ をW 1上の θ’ に等しい空間W 1上のHの表現とします。このとき、( W , σ) は既約表現 ( W 1 , θ) によって導かれる表現です。
次の命題を証明するには、補題が必要です。
- C が群Gの中心である場合、既約表現の次数d は商群G / Cの次数を分割します。
c はGの部分群Cの位数を表し、( W , σ) はGの既約表現を表します。 z がGの要素である場合、 s がG を通過する場合、 σ( z ) はすべての要素 σ( s ) と可換になります。 Schur の補題により、 σ( z ) は相似性であると結論付けることができ、その比 λ( z ) に注目してみましょう。写像 λ がCからK *への群射であることに気付きます。
次に、厳密に正の整数mと、 Wの値を持つ表現 σ のm倍の表現 σ mテンソル積を考えてみましょう。
すべての座標の積が1に等しくなるような要素 ( z 1 , …, z m ) によって形成されるG mの部分群を H と表します。 G mの中心の部分群なので正常です。商に渡すことにより、 G m / Hの既約表現が得られます。したがって、表現 σ mの次数d mはg m / cm -1の約数です。この関係はすべてのmに当てはまり、補題が証明されます。
- N がGのアーベル正規部分群である場合、既約表現の次数は商群G / Nの次数を分割します。
この命題を帰納法で証明しましょう。 Gの既約表現は、ここでは ( W , σ) と表されます。
σ のNへの制限が同型である場合、 Nはアーベルであり、有限アーベル群の唯一の既約表現は次数1であるため、σ によるNのイメージは相似関係で構成されます。 GとNの像をσで表すとG’ 、 N’となります。 GL ( W ) の値に対するG’の恒等表現を考えます。前の補題は、この表現の次数がG’の商群の次数をその中心で割ることを示しています。しかし、このサブグループは同種のもので構成されているため、その中心にはN’ が含まれています。したがって、σ の次数、つまりWの次元はG’ / N’のオーダーの約数になります。最後に、 G’ / N’におけるG / Nの正規適用は全射的であるため、 G’ / N’の次数はG / Nの次数の約数となり、この場合のデモンストレーションは完了です。
σ のNへの制限が同型的ではない場合、 Gとは異なり、 N を含む群H が存在し、表現 ( W , σ) はHの既約表現 ( W 1 , θ) によって誘導されます。次に、表現の次数 θ がインデックス [ H : N ] を漸化仮説で割ります。 σ の次数は、θ にインデックス [ G : H ] を乗算したものに等しいため、[ G : H ].[ H : N ] の約数となり、したがって [ G : N ] の約数になります。