導入
普遍代数は、群、モノイド、環、ベクトル空間などのさまざまな代数構造を一般的かつ同時に扱うことを目的とした代数の分野です。これにより、準同型写像、部分構造 (部分群、部分モノイド、部分環、ベクトル部分空間など)、商、積、およびこれらの構造の自由オブジェクトを統一的に定義することが可能になります。
数学には、さまざまな公理 (群、環、ベクトル空間、格子、ブール代数、リー代数) を満たす多数のタイプの代数構造が存在します。これらの異なるタイプの構造には、準同型性の概念と、類似する、または類似の特性 (部分構造、商、積、余積、自由物体、射影および帰納の極限など) を持つ構造の構築が存在します。そして、これらの準同型写像と構造は、類似した性質を多数持っています (部分群、部分環などの交差は 1 つであり、準同型写像による部分群、部分環などのイメージも同様です)。これらは、少なくとも群、環、ベクトル空間について、大学の数学の最初の数年間で教えられることがよくあります。次に、これらの構造とその特性を統一的な方法で扱えるようにするために、代数構造を一般的かつ抽象的な方法で定義し、その構造のそれぞれに固有の特性に集中することができました。
普遍代数は、代数でのみ使用される通常の代数構造を一般化したものではなく、論理学やコンピューター サイエンスにも応用できます。
代数
予備的な例
代数構造の統一概念を引き出すために例を見ると役立つ場合があります。代数構造の定義において、集合上の内部および外部の合成法則のデータに限定されることがありますが、これらの法則のデータによって常に準同型写像を、これらの法則と部分的構造を維持する応用として定義できるわけではありません。法則の安定した部分としての構造 (サブグループ、サブリングなど)。以下に例を示します。
Gを群、φ その組成法則、 eの中立要素、γ の逆数をGの要素に関連付ける適用とします。 S をGの一部とします。自然数の集合の場合に示されるように、 SがGの部分群となるためには、 SにSの任意の 2 つの要素の合成が含まれているだけでは十分ではありません。
代数構造に部分構造 (さまざまな法則によって安定した部分) を決定させたい場合は、通常の構造 (群、環など) を追加の法則で強化する必要があります。
代数
通常の構造は法則だけで決まるのではなく、法則を支配する公理（結合性、可換性、分配性、中立元など）、つまり恒等性によって決定されます。アイデンティティの一般的な定義については後で説明します。代数構造がすべて特定の共通の恒常性を検証する場合、これらの構造から推定される通常の構造 (部分構造、商、積) のほとんどがそれらを検証します。まず、特定のアイデンティティを検証しない法律によって定義された構造の構築に焦点を当てます。これらの構築によるアイデンティティの安定性により、このようにして得られた結果が、特定のアイデンティティを検証するデータ法によって定義された構造に一語一語適用されることが保証されます。アイデンティティ。
代数は代数構造を持つ集合であり、その正確な定義を示します。代数の中には、群、モノイド、与えられた環上の加群 (特に与えられた場のベクトル空間)、格子、およびブール代数があります。
意味。 Eを集合、 n を自然数(ゼロかそれ以外) とします。 Eに対するE nのEへの応用をn項演算と呼びます。 n = 2 の場合、 Eに関する内部合成法則になります。 n = 1 の場合、これはEからEへのマップであり、これらをEの単項演算と呼びます。 n = 0 の場合 ( Eに対するnull 演算について話します)、 E 0 = {0}であるため、それらはEの要素で識別され、 E内の {0} のアプリケーションはそれらの一意の要素で識別されます。画像。 Eに対する有限演算をマップと呼びます。これは、自然数 p に対する E’に対するp項演算です。
A を集合としましょう。その場合、外部合成法則またはE上のAの外部法則は、定義により、 EにおけるA × Eの写像になります。 E上のAの外部合成法則は、集合Eにおける A のアプリケーションEにおけるEのアプリケーションとして識別されます。したがって、 Eの単項演算: Aの要素aと、 aによって定義される部分アプリケーションを関連付けます。この外部の法則。したがって、 E上のAの外部合成法則の集合は、 E EにおけるAの応用の集合と同一視され、したがって、 Aによってインデックス付けされたEの単項演算の族の集合と同一視されます。左と右の外部合成法則の区別は、両者の間に標準的な全単射があるため、表記の問題です。
意味。全称代数、またはより単純に代数(線形代数で遭遇する可換環上の代数と混同しないでください) は、 Aに対する有限演算の族 (空であるかどうか) を備えた集合Aであり、次のように言えます。集合Aは問題の代数の基礎となります。有限演算のnタプル (ペアなど) は、有限演算のファミリーです。
著者の中には、すべての代数は空ではないと仮定している人もいますが、これは不必要です。
複数の代数を同時に処理できるようにするには、それらが同じシグネチャを持っているかどうか、つまり、それらがすべてリングであるか、またはすべて格子であるかどうかを判断すると便利です。このためには、代数の有限演算を特定のセットでパラメータ化し、同じパラメータのn項演算が互いに対応するようにパラメータ化する必要があります。たとえば、通常、与えられた環の法則では、加算は乗算の前に来るため、環の加算は別の環の加算に対応し、その乗算には対応しないことがわかります。
意味。すべての自然数n に対して、 Ω の一部 (空かどうか) を与えた集合 Ω (空かどうか) を与えましょう。これをΩ nとします。次に、私たちは自分自身に署名、代数のタイプ、または演算子の領域を与えたと言います。署名 Ω の代数または普遍代数は、すべての自然整数nおよびΩ nのすべての要素 ω に対してAに対するn項演算を備えた集合Aであり、混乱が生じない場合はω A 、または ω と表します。 。そして、これらの有限操作のデータは、全体として署名 Ω を持つ代数構造を定義すると言います。
大会。以下では、私たちは代数署名をきっぱり与えます。特に明記しない限り、すべての代数はこの署名のものであると想定されます。
代数Aがある場合、 Ω 0の要素によって定義されるヌル演算が識別されるAの要素を、 Aの定数要素または識別要素と呼びます。
代数の例
代数の例をいくつか挙げてみましょう。
- 集合は、有限演算を備えない代数です (代数署名が空であることを除外することはできません)。
- 指摘されたセットは、 Eの要素、つまり null 操作を備えたセットEです。
- マグマは合成法則、つまり二項演算を備えた集合です。
- モノイドは中性元素と結合したマグマです。したがって、バイナリ演算とヌル演算が装備されています。
- グループはモノイドであり、すべての要素が逆数を許容するため、要素をその逆数に関連付ける単項演算が備えられています。したがって、二項演算、ヌル演算、単項演算が備わっています。
- Mがモノイド (たとえば、群) の場合、 E上のMの action] が提供される集合Eは、 Mのすべての要素 aに対してE danceの単項演算x → axが提供されると考えると、代数になります。
- 環は加算の基であると同時に乗算のモノイドでもあります。したがって、2 つのバイナリ演算、2 つの null 演算 (0 と 1)、および 1 つの単項演算が装備されています。
- リングA上のモジュールは、特定の性質を検証するAの外部法則を備えた可換群です。したがって、これには、二項演算 (加算)、ヌル演算 (0)、単項演算 (- xをxに関連付ける)、およびAの任意の要素に対する単項演算 (対応する相似性) が備わっています。
- 与えられた可換環A上の代数は、双線形であるE上の乗算を備えたA上のモジュールEです。 「代数」という用語を使用すると混乱が生じる可能性があります。多くの場合、 A上の代数の乗算は結合的であると仮定されますが、 A上には乗算が結合的でない代数が存在します (たとえば、 A上のリー代数)。
- 与えられた可換環A上の単位代数は、その乗算が単位要素を許容するA上の代数であり、この単位要素が与えられます。
- ラティスは、特定のプロパティ (上限と下限) を検証する 2 つの構成法則を備えたセットです。
- ブール代数は格子であり、その最小要素、最大要素、およびその補数を要素に関連付けるアプリケーションが提供されます。したがって、2 つのバイナリ演算、2 つの null 演算 (0 と 1)、および 1 つの単項演算が装備されています。
- X をフィールドK上のアフィン空間とします。次に、ゼロ以外の自然数nと、合計が 1 に等しいKのn要素の有限シーケンスに対して、 n点のシーケンスに、これらの影響を受けるこれらの点の重心を関連付けるn項演算があります。 Kの要素。したがって、 X上の代数構造を定義します。したがって、 K上の任意のアフィン空間は代数構造を持つと考えることができます。例外を避けるために、空のセットは0 に削減されたベクトル空間にアタッチされたアフィン空間とみなされます。
これらの例が示すように、最も一般的な代数構造を説明するには、二項演算、ヌル演算、単項演算のみを持つ代数に限定することができます。しかし、これらの構造の場合でも、有限演算を考慮することは有用です。結合合成の法則により、ゼロ以外の自然整数nに対して、 n個の要素を関連付けるn項演算を定義できるからです。積（またはそれらの合計）。
これらの構造の通常の定義では、全体にはこれらの有限操作がすべて装備されているわけではなく、それらの一部のみが装備されており、これらの構造の公理はこれらの他の構造の存在を暗示しています。
これらの例は、準同型性と部分構造 (部分群、部分環など) を正しく定義するために必要なすべての構造を決定するのに役立ちます。
物体は、非ゼロ要素が反転可能な要素に還元されていないリングです。本体では、その反転を非ゼロ要素に関連付けるマップはどこでも定義されているわけではなく (0 は反転不可)、したがって本体全体に対する単項演算ではなく、反転可能な要素のグループに対してのみ行われます。この欠点を克服するには、有限演算がどこでも定義されているわけではない部分代数の理論を開発する必要があります。
ここでは、重要な 2 つの簡単な例を示します。
- シングルトンである任意の集合Eについては、 Eに署名 Ω を持つ固有の代数構造が存在します。基礎となる集合がシングルトンである代数はtrivialと呼ばれます。
- 空の集合には、署名 Ω を持つ代数構造が 1 つだけ存在します。1 つが存在するには、null 演算のパラメータの集合Ω 0が空であることが必要かつ十分です。つまり、null 演算が存在しないと言えます。 。たとえば、空のグループは存在しませんが、固有の空のマグマが存在し、固有の空の格子が存在します。
代数の定義により、自明な環と自明なブール代数、つまり 1 つの要素に還元されたものが確実に認められます。著者によっては、これらの環とブール代数を除外している人もいます。
準同型性
ここでは、群、環、加群（線形写像）などの準同型性を含む準同型性の一般的な定義を示します。
意味。 AとB を同じ署名 Ω を持つ代数とする。 BにおけるAの準同型または射(指定する必要がある場合は Ω-準同型または Ω-準同型) は、Ω の同じ要素に対応する有限演算を保存するBにおけるAの写像です。より正確には、 AからBへの写像fは、任意の自然数nおよびΩ nの任意の要素 ω について、 ω B ( f ( x 1 ), …, f ( x n ) の場合に限り、準同型写像となります。 ) = f ( ω A ( x 1 , …, x n ))、 Aの要素x 1 , …, x nは何でも。 n = 0 の場合、これはf ( ω A ) = ω Bを意味します (たとえば、 AとB が体K上のベクトル空間である場合、 f (0) = 0 になります)。
代数Aの準同型性を、 AからAへの準同型性と呼びます。
ここで定義されている準同型性が、一般的な代数で遭遇するさまざまな代数構造 (モノイド、群、環、与えられた環上の加群、格子など) の準同型性と対応していることがわかります。
一部の代数AおよびBでは、 AおよびBが空でない場合でも、 AからBへの準同型性が存在しない可能性があります。たとえば、自明ではない環内の自明な環の間に準同型性は存在せず、準同型性は定義により単位要素を保存します。また、有理数の体Qの環準同型性が有理整数の環Z内に存在しません。
例。 K をフィールドとし、 XとY がK上にスペースをアフィンするとします。 Xとy は、非ゼロの自然な整数nと、合計が 1 に等しいKのn要素の有限結果に対して、 n点の集合と次の重心を関連付ける演算n -aire を考慮することによって代数になります。これらの点はKのこれらの要素に割り当てられます。したがって、このように定義された代数構造のYにおける準同型写像X は、 YにおけるXのアフィン写像に他なりません。言い換えれば、 YにおけるXのアフィン適用は、重心を保存するXのYにおける適用に他なりません。
提案。 A 、 B 、 Cを代数とする。 AからBへの準同型性とBからCへの準同型性の合成は、 AからCへの準同型性です。代数Aの恒等写像はAの準同型写像です。圏論の観点からは、署名代数 Ω のクラスは準同型写像とともに (マップとして) 準同型写像の合成のための圏を形成します。
意味。 AとB を同じ署名を持つ代数とする。 B上のAの同型性、またはA = Bの場合、全単射であるBにおけるA の準同型性を Aの自己同型性と呼びます。 AからBへの任意の同型写像fについて、 fの逆全射はBからAへの同型写像です。これは圏論における同型の概念と一致します。
提案。 Aの準同型性の集合は、準同型性の合成のモノイドであり、End( A ) と表します。 Aの自己同型性の集合は、準同型性の合成の群であり、Aut( A ) と表します。これは、モノイド End( A ) の可逆要素のグループです。
それらが存在する場合、空代数は、署名 Ω を持つ代数圏の唯一の初期オブジェクトになります。つまり、どの代数Aについても、 Aに空集合の準同型性が存在します。空の代数が存在しない場合、空ではない初期オブジェクトも存在します。自明代数は、このカテゴリの唯一の最終オブジェクトです。つまり、どの代数Aについても、自明代数にはAの一意の準同型性が存在します。