導入
数学、より具体的には代数において、代数構造は特定のタイプの構造です。他のタイプの構造と比較したその特異性は、1 つまたは複数の合成法則を組み合わせたセットで形成され、順序またはトポロジーによって補足される可能性があり、すべて特定の数の公理を満たします。
代数構造は、その普遍的な (またはほぼ普遍的な) モデルを示す普遍代数を使用して調べることができます。それらの共通の特性は統一された方法で扱われるため、新しいタイプに遭遇するたびに研究をやり直す必要がなくなります。それでも、一般的な代数構造のリストを作成し、それらを分類することは役に立ちます。まさにこれがこの記事の主題です。
純粋な代数構造
これらの構造には合成法則のみが含まれます。
基本構造
内部構成法則のみが含まれます。最も重要なのは、グループ、リング、およびボディの構造です。
マグマ
これらは最も単純な代数構造です。それらには内部構成法則のみが含まれています。
注:マグマはグループイドと呼ばれることもありますが、この用語グループイドには圏論では別の意味があります。
- パラグループ: 順列、可換、規則的なマグマ。
- 例: 2 つの点をその等重中心 (または中点) に関連付ける法則は、各アフィン空間でべき等パラグループを形成します。
- アンチグループ: 右側の順列的、規則的かつ包含的なマグマ。
- 準群: 共生マグマ。
- 別の定義: 「再配置補題」を考慮したマグマ:
- マグマの各要素は、その法則の表の各行と各列に 1 回だけ出現します。
- (したがって、有限準群の法則の表はラテン方陣になります)。
- ループ: 統一的な準群、つまり中立的な要素を持ちます。
- Moufang : 好中活性ループ。
- デミグループ: 結合性マグマ。
- モノイド:結合性と統一性のあるマグマ。
- 半群: 結合性、統一性、規則性のあるマグマ。
- 例:加算により提供される自然数の集合は、可換半群を形成します。
- グループ: 可逆モノイド。つまり、すべての要素が逆数を持ちます。これは結合ループでもあり、したがって結合的かつ統一的な準群となります。
- したがって、その法則の表は再配置補題を尊重します。
- アーベル群: 可換群。
環形動物
これらの構造には2 つの内部構成法則があります。
- 擬似環：群構造（加算と呼ばれる合成法則）と乗算と呼ばれる追加の合成法則を備えた集合であり、乗算は加算に対して結合的かつ分配的である。
- Ring : 乗法則が結合的かつ一元的である擬似環 (したがって、乗算のモノイドです)。著者によっては、これまで疑似リングと呼ばれてきたリングを「リング」と呼び、ユニタリーリングを「リング」と呼んでいる人もいます。
- 可換環: 乗算が可換である環。
- 半環:環に似ていますが、加算の場合はモノイドであり、必ずしも群である必要はありません。
- 本体: 加算の中立要素が乗算の中立要素ではなく、すべての非ゼロ要素が乗算の逆元を持つリング。イギリスの影響 (下記を参照) のため、物体は暗黙的に可換であると考えられることがよくありますが、フランスの伝統では必ずしもそうではありません。曖昧さを避けるために、次のように示すことをお勧めします。
- – 効果的に可換な体を表す「可換体」、
- – そして、必ずしも可換ではない体の場合は、「可換体かどうか」、または「任意の体」。
- 可換体、非可換体: フランスの伝統では、「体」は必ずしも可換であるわけではありません。英語では、可換体はフィールドと呼ばれ、非可換体は分割リングと呼ばれます。意味の変化により、フランス語の用語を英語の用語と一致させ、非可換フィールドを「除算を伴う (または除算の) リング」として、可換フィールドを「本体」として認定する傾向があります。この最後の指定は避けるべきです。なぜなら、「本体」は可換的であるとみなされるのか、それとも恣意的であるとみなされるのかという、あいまいさにつながるからです。
外部演算子を含む構造体
これらの構造は、代数的または幾何学的観点から考えることができます。
代数的には、外部構造は、基本構造に関する外部構成則と、場合によっては 1 つ以上の内部構成則を備えたセットです。
幾何学的には、演算子セットS が作用するセットEであり、演算子またはスカラーのセットとも呼ばれます。このため、セットEにはアクション、つまりEにおけるSの適用 ( Eの変換のセット、つまりEにおけるEの適用) が提供されます。
行為と外部法則との対応は 1 対 1 です。これが、外部法がしばしば行動の法則と呼ばれる理由です。
均質な空間
これらの構造には、外部の法則が 1 つだけあります。例は次のとおりです。
- 均質空間: 群G が推移的に作用する集合、
モジュロイド
内部構成則と外部構成則の両方を持つ構造。
- 演算子を含むグループ(セット内) : 演算子のセットに関する外部法則が提供されるグループ。グループの法則に関連して分配されます。
- リング上のモジュール、非可換リング上の左側と右側のモジュールを区別します。
- ベクトル空間 (ボディ上) :ボディ上のモジュールK 。ボディが可換でない場合は、左側と右側のベクトル空間も区別する必要があります。
- アフィン空間(物体上) : 物体K上のベクトル空間の等次空間。 Kの特性が 2 と異なる場合、ベクトル空間の概念とは独立して、この物体上にアフィン空間の定義が存在します。アフィン空間は、次の 2 つの法則を持つセットになります。
代数
2 つの内部法則と 1 つの外部法則を持つ構造。
- 代数（可換環上） ：双一次内部構成法則が付加されたモジュール（またはベクトル空間）。
- 結合代数: 乗算が結合する代数。
- 可換代数: 乗算が可換である代数。
- ユニタリ結合代数: 乗算の中立要素を持つ結合代数。
- リー代数: 一般に非結合代数の特別なタイプで、リー群の研究において重要です。
- ジョルダン代数: 一般に非結合代数の特殊なタイプ。
二代数学
2 つの内部法則、1 つの外部法則、および 2 つの内部法則のうちの 1 つの「二重」法則を持つ構造。
- ホップ代数