重心 – 定義

重心は、他の点のセットから構築された数学的な点 (解析幾何学) です。対応します

• 統計では平均（または期待）の概念に、
• 物理学 (運動学、点力学) では、慣性中心(または質量中心) または 重心の概念に、
• そして固体力学ではモーメント（慣性モーメント、角運動量）の概念に、
• 平均点または中心点での空間分析。

ベジェ曲線の構築にもこの概念を使用します。

ちょっとした歴史

物理学では

barus (ウェイト) とcenterの重心は、最初はウェイトの中心です。したがって、それは物理的かつ機械的な概念です。重力の中心としての重心 (今日私たちが重心と呼んでいるもの) を最初に研究したのは、数学者であり物理学者のアルキメデスでした。彼は、モーメントの原理、てこの原理、重心の原理を最初に理解し、説明した人の一人です。彼は平面の重心についての論文で次のように書いています。

「あらゆる重い物体には明確に定義された重心があり、そこに身体全体の重量が集中していると考えられます。」

彼のモーメントとてこの原理により、異なる質量m ₁とm ₂の 2 点の重心O を非常に簡単に構築することができます。

バランスがとれるためには、瞬間が必要です

$$ {m_1\cdot\overrightarrow{OA}+ m_2\cdot\overrightarrow{OB}=\vec 0} $$

彼は、半円板や放物線のような表面の重心を探した最初の人物でした。彼は逐次近似によって作業を進め、重心の検索には面積の計算と同様の方法が使用されることを証明することができました。彼の研究は、Paul Guldin (1635/1640) の論文Centrobarycaの研究と、ライプニッツのベクトル関数のおかげであるライプニッツの研究によって拡張されています。

非固体システムの慣性中心 G の概念は、衝撃理論の確立中に Christiaan Huygens (1654) によって特定された概念です。たとえ P = P ₀であることがわかっていたとしても、それは明らかではありません。 G は一定の速度で進むと彼に伝えました。特にパーカッションの瞬間には、ほぼ無限の力が作用し、標的が壊れる可能性もあるが、G はそれにもかかわらず、動揺することなく動きを続ける。微分積分をまだ知らないホイヘンスにとって、これは驚くべきことのように思える。そこで彼は力学の原理を次のように述べています。

「物質系の重心は、あたかも系の質量全体がそこに運ばれるかのように動き、系の外力はすべてこの重心に作用します。」

アルキメデスが見た重心、重心 (= 重心) と重心、質量中心 (= 慣性中心) の間の微妙なずれに気づくことができます。

その他の応用分野

物理学と力学の文脈で作成された重心は、他の多くの分野で非常に役立つことがすぐに証明されました。

geometryでは、他の点との関係で点を見つけることができます。これらは重心座標です。これは、調整やコンテストをデモンストレーションするための推奨ツールです。ベクトル幾何学はベクトルと線形結合の幾何学であり、アフィン幾何学は点と重心の幾何学であると言えます。

統計では、加重平均の計算と表現が可能になります。確率においては、数学的な期待においてそれを見つけます。

物流において、これは強力な意思決定ツールです。

化学では、分子の極性を計算できます。

数学的発展

数学では、2 つの正の質量をより複雑な集合に徐々に割り当てた 2 点の平衡点のアルキメデスの構築を一般化します。係数は負の場合があります。質量 a および b (a + b はゼロではありません) が割り当てられた点 A および B の重心は、次のような固有の点 Gです。

$$ {a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0} $$

。

G の座標は次のようになります。

$$ {x_G = \frac{ax_A+bx_B}{a+b} \quad y_G = \frac{ay_A+by_B}{a+b}\quad z_G = \frac{az_A+bz_B}{a+b}} $$

ポイントの数は3 ポイント、4 ポイントに増やすことができ、一般的にはnポイントに増やすことができます。質量a _iの合計がゼロでない場合、系の重心

$$ {\sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow{GA_i} = \vec 0} $$

。

座標は次の式で与えられます。j は 1 から空間の次元まで変化します。

$$ {x_{j,G} = \frac{\sum_{i = 1}^n a_i x_{j,A_i} }{\sum_{i = 1}^n a_i }} $$

この形式では、アフィン幾何学の強力なツールになります。

点の数が無限になることもあるので、曲線や曲面の重心を見つけることが可能になります。

全体が連続領域D を構成する場合、領域の各点Mに密度g(M)を割り当てます。ここで、 gは連続関数 (スカラー体) です。この場合、重心は次のような点G になります。

$$ {\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dv = \vec 0} $$

宇宙で、あるいは

$$ {\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm ds = \vec 0} $$

計画では。

点M が座標( x ₁ ; x ₂ , x ₃ )を持つ場合、密度関数はg ( x ₁ , x ₂ , x ₃ )と書かれ、 Gの座標は次のように書かれます。

$$ {x_{j,G} = \frac{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_j~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3}{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3)~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3},\quad j \in \{1,2,3\}} $$

1 次元に縮小するか、各座標を個別に考慮すると、加重平均の公式が見つかります。

$$ {x_G = \frac{\int g(x)\cdot x~\mathrm dx}{\int g(x)~\mathrm dx}} $$

身体的発達

慣性中心

力学では、物体の慣性中心は、問題の物体を構成する粒子の重心に対応します。各粒子はそれ自体の質量によって重み付けされます。したがって、それは質量が均一に分布する点となります。

連続体の場合

$$ {\overrightarrow{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)\overrightarrow{OM}~\mathrm dV}{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)~\mathrm dV}} $$

または

$$ {\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dV=0} $$

したがって、慣性中心は物体の密度と形状にのみ依存します。それは本質的な特性です。

慣性中心の驚くべき特性は、そのコンポーネント自体が新たな力を経験しない限り、そのコンポーネントに何が起こっても、その動きが運動法則によって完全に決定されることです。たとえば、砲弾が飛行中に爆発した場合、その破片の慣性中心は、爆発前、爆発中、爆発後、何も起こらなかったかのように放物線を描き続けます。警告: これは明らかに弾道弾や小惑星には当てはまりません。これは、それぞれの破片にかかる力が異なるためです。

重心

物体の重心は、当該物体を構成する粒子の重心に対応します。各パーティクルはそれ自体の重みによって重み付けされます。

重心位置G _gは次の関係 (

$$ {\int_{\mathcal{C}} \overrightarrow{G_gM} \wedge \rho(M)\vec{g}(M)~\mathrm dV=\vec{0}} $$

重心は基本的に、身体が没入する重力場と関連していることに注意してください。必ずしも存在するとは限りません！

力学では、物体のサイズが地球の丸さに比べて小さい場合、均一な重力場を考慮することがよくあります。この仮説では、重心と慣性中心は同じになります。

天文学

私たちは衛星を持った恒星によって形成されるカップルに関して重心について話します。重心は、二次天体が周回する点です。既知のカップルのほとんどがメイン オブジェクト内に重心がある場合、注目すべき例外があります。

• 冥王星とカロンの組み合わせの場合: これら 2 つの天体の質量の差は比較的小さいため、重心は冥王星の外側にあります。一部の天文学者にとって、この特定の場合には、惑星や衛星について話すよりも、「二重惑星」の概念を保持することが適切であると考えられます。
• いくつかの小惑星は上記のシナリオを再現します。
• 木星と太陽のカップルの重心は、後者の外側、太陽半径約 1 つ離れたところにあります。
• 特定の二重星にもこの特殊性が見られます