ユークリッド幾何学におけるベクトル微積分について詳しく解説

この記事では、ユークリッド幾何学におけるベクトルの演算について説明します。

平面および空間内のベクトルの演算

この記事で説明するベクトルは空間のベクトルです。

$$ {\mathbb R^3} $$

または計画

$$ {\mathbb R^2} $$

。

上で強調したように、いくつかの幾何学的構造はベクトルに特有です。これらの幾何学的構造は数値の演算 (加算、乗算) と共通の性質を持っているため、同様の表記法を採用します。

ベクトルとスカラーの積

ここでの「スカラー」という用語は、実数を指します。ベクトルの積

$$ {\vec{u}} $$

aはスカラーで表されるベクトルです

$$ {a \cdot \vec{u}} $$

～と同じ方向と方向の
$$ {\vec{u}} $$
、しかしその長さは

$$ {a \cdot ||\vec{u}||} $$

、a > 0の場合

同じ方向だけど逆方向
$$ {\vec{u}} $$
、その長さは

$$ {-a \cdot ||\vec{u}||} $$

、a < 0 の場合。

a = 0 の場合、それはゼロベクトルです

これは拡大( | a | >1 の場合) または縮小 ( | a | <1 の場合) であり、要するに比aの相似性です。

ベクトルの積$$ {\rm \vec{u}} $$

スカラーによって

我々は持っています

$$ {1.\vec{u} = \vec{u}} $$

、

$$ {0.\vec{u} = \vec{0}} $$

そして

$$ {a.\vec{0} = \vec{0}} $$

したがって、1 はこの演算の中立スカラー要素、0 は吸収スカラー要素です。ベクトルとスカラーの積は、スカラーの加算で分配されます。

$$ {(a+b) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}} $$

しかし、それは可換ではありません: 表記法

$$ {\vec{u} \cdot a} $$

意味がありません。

2 つのベクトルが同一線上 (平行) になるのは、それらが比例する場合、つまり次のような数aが存在する場合に限られることに注意してください。

$$ {\vec{u} = a \cdot \vec{v}} $$

。

2 つのベクトルの合計

$$ {\vec{u}} $$

そして

$$ {\vec{v}} $$

はベクトルであり、

$$ {\vec{u}+\vec{v}} $$

、次のように構築されます。

2 番目のベクトルの原点を最初のベクトルの終点に移動します。和は、最初のベクトルの原点と 2 番目のベクトルの終点を結合したベクトルになります。

これは、最初の 2 つのベクトルによって形成される三角形の 3 番目の辺です。

別の方法で構築することもできます。

2 つのベクトルの原点を同じ点に置き、ベクトルが 2 つの辺である平行四辺形を描きます。その合計は、原点から始まる平行四辺形の対角になります。

どちらの場合も、ベクトルをエンドツーエンドで配置します。ただし、一方のベクトルの原点が他方のベクトルの終端に対応する場合は三角形法を使用し、原点が結合されている場合は平行四辺形法を使用します。

2 つのベクトルの合計

3 つの点A 、 B 、 C がある場合、「 Chasles 関係」が成立します。

$$ {\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}} $$

このことから私たちは次のように推測します

$$ {\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}} $$

これにより、ベクトルの反対、つまり減算を定義できるようになります。

$$ {-\overrightarrow{AB} = -1 \cdot \overrightarrow{AB}} $$

我々は持っています

$$ {\overrightarrow{AB} = – \overrightarrow{BA}} $$

ベクトルの反対とは、同じ方向、同じ長さで逆方向のベクトルです。

我々は持っています：

$$ {\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}} $$

$$ {\vec{0}} $$

ベクトル加算の中立要素です。ベクトルの加算は可換です

$$ {\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}} $$

スカラーとベクトルの積は、ベクトルの加算で分配されます。

$$ {a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}} $$

。

2 つのベクトルの内積

意味

もし

$$ {\vec{u}} $$

そして

$$ {\vec{v}} $$

は幾何学的な角度 α を作る 2 つのベクトルであり、スカラー積と呼びます。

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v}} $$

、次の値に相当する (実数) 数値:

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\alpha)} $$

。

いずれかのベクトルがゼロであるか、ベクトル間の角度が正しい場合 (つまり、α = π/2 rad = 90°の場合)、内積はゼロになります。

$$ {\vec{u}} $$

そして

$$ {\vec{v}} $$

この場合、は直交し、角度が鋭角の場合は厳密に正、角度が鈍角の場合は厳密に負です。

この操作は、直交投影の計算を簡素化するために導入されました。実際、 v _{u が}次の射影の代数的長さである場合、

$$ {\vec{v}} $$

に従って方向付けられた直線上

$$ {\vec{u}} $$

( v _{u は}、射影が次の方向と同じ方向にある場合、正になります。

$$ {\vec{u}} $$

、逆方向の場合は負）、次のようになります。

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v} = v_u \cdot ||\vec{u}||} $$

したがって、次の基準がある場合、

$$ {\vec{u}} $$

が 1 の場合、次の正射影の代数的長さは次のようになります。

$$ {\vec{v}} $$

右側は

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v}} $$

。同様に、 u _{v が}次の投影の代数的長さである場合、

$$ {\vec{u}} $$

に従って方向付けられた直線上

$$ {\vec{v}} $$

そうすると、

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v} = u_v \cdot ||\vec{v}||} $$

プロパティ

内積は可換です

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}} $$

ベクトルの加算で分配的です

$$ {\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}} $$

ゼロベクトルはスカラー積の吸収要素です

$$ {\vec{u} \cdot \vec{0} = \vec{0} \cdot \vec{u} = 0} $$

$$ {\vec{u} \cdot \vec{u}} $$
ベクトルのスカラー二乗と呼ばれます$$ {\vec{u}} $$

そしてメモ

$$ {\vec{u}} $$

² ; したがって：

$$ {\vec {u}} $$

² =

$$ {\vec{u} \cdot \vec{u}} $$

ベクトルのスカラー二乗は、そのノルムの二乗に等しい

$$ {\vec{u}} $$

² =

$$ {\| \vec{u} \|} $$

² したがって

$$ {\sqrt{{\vec{u}}^2}} $$

$$ {\| \vec{u} \|} $$

2 つの非ゼロベクトルは、そのスカラー積がゼロである場合にのみ直交します。

$$ {\vec{u} \perp \vec{v}} $$

もし、そしてその場合に限り

$$ {\vec{u} \cdot \vec{v} = 0} $$

正規直交基底と呼ばれる平面内
$$ {\left ( \vec i, \vec j \right )} $$

デモンストレーション

させて

$$ {\vec{u} ( u_x ; u_y )} $$

そして

$$ {\vec{v} ( v_x ; v_y )} $$

正規直交基底の 2 つのベクトル

$$ {\left ( \vec i, \vec j \right )} $$

それぞれの極座標の

$$ {\left ( r ; \theta \right )} $$

そして

$$ {\left ( r’ ; \theta’ \right )} $$

。我々は持っています：

空間では正規直交基底と呼ばれる
$$ {\left ( \vec i, \vec j, \vec k \right )} $$

$$ {\vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y+u_z\cdot v_z} $$

(数学のすべての分野で有効な一般的な定義については)も参照してください。

内積

空間内の 2 つのベクトルの外積

ベクトル積

まず、 2 つの非共線ベクトルがあることに注意してください。

$$ {\vec{u}} $$

そして

$$ {\vec{v}} $$

ベクトル平面を定義します。 3番目のベクトル

$$ {\vec{w}} $$

最初の 2 つの線形結合として記述できる場合、つまり、次のような 2 つの実数aとb が存在する場合に限り、前の 2 つのものと同一平面上にあります。

$$ {\vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v}} $$

3 つの非共面ベクトルがベースを形成します。基礎

$$ {(\vec{u},\vec{v}, \vec{w})} $$

右手でイメージできる場合はダイレクトと呼ばれます。

$$ {\vec{u}} $$

親指であること、

$$ {\vec{v}} $$

インデックスであることと、

$$ {\vec{w}} $$

中指であること。

2 つのベクトルのベクトル積を定義します。

$$ {\vec{u}} $$

そして

$$ {\vec{v}} $$

、注記

$$ {\vec{u} \wedge \vec{v}} $$

、ベクトルとして次のようになります。

基本ベクトル平面に垂直
$$ {(\vec{u},\vec{v})} $$
誰の基準は
$$ {\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})} $$
のような
$$ {(\vec{u},\vec{v}, ( \vec{u} \wedge \vec{v} ))} $$
直接の基礎を形成します。

前の定義を次の場合に拡張します。

$$ {\vec{u}} $$

そして

$$ {\vec{v}} $$

以下を設定することで共線的になります。

$$ {\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}} $$

詳細な記事「Vector 製品」を参照してください。

気づいた：

ベクトル積は、さまざまな種類の数学的オブジェクト (ベクトルまたは擬似ベクトル) に作用します。この区別は、正規直交基底では (対称性を除いて) あまり重要ではありませんが、非正規直交基底では区別しないと、不条理が生じます。物理学では、特に磁場とモーメントに関してこの問題が発生します。これらはベクトルによく似ていますが、実際には擬似ベクトルであり、同じ計算規則に従いません。

Pseudovector の記事も参照してください。

混合品

定義と特性

3 つのベクトルが与えられると

$$ {\vec u\,} $$

、

$$ {\vec v\,} $$

そして

$$ {\vec w\,} $$

、これら 3 つのベクトルの混合積を量と呼びます。

$$ {\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w\,} $$

。

次のことを証明できます。

$$ {\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \left[\vec v, \vec w, \vec u\right] = \left[\vec w, \vec u, \vec v\right]\,} $$

そして：

$$ {\left[\vec v, \vec u, \vec w\right] = \left[\vec w, \vec v, \vec u\right] = \left[\vec u, \vec w, \vec v\right] = – \left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\,} $$

そしてまた:

$$ {\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z\\v_x & v_y & v_z\\w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}} $$

言い換えると：

$$ {\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (u_x v_y w_z + v_x w_y u_z + w_x u_y v_z) – (u_z v_y w_x + v_x w_z u_y + w_y u_x v_z)\,} $$

備考：

3 つのベクトルのうち 2 つが等しいか同一線上にある場合、混合積はゼロになります。
3 つの真のベクトル (擬似ベクトルではなく) の混合積は、擬似スカラー量です。

混合製品の応用

ベクトルの場合
$$ {\vec u\,} $$
、
$$ {\vec v\,} $$
そして
$$ {\vec w\,} $$
原点が同じ、混合積の絶対値
$$ {\left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\,} $$
上に構築された直方体の体積に等しい
$$ {\vec u\,} $$
、
$$ {\vec v\,} $$
そして
$$ {\vec w\,} $$
、またはこれらの同じベクトル上に構築された四面体の体積の 6 倍ですらあります。

二重ベクトル積

3 つのベクトルを組み合わせることができます

$$ {\vec u\,} $$

、

$$ {\vec v\,} $$

そして

$$ {\vec w\,} $$

2 つの連続するベクトル積によって。
これを双十字積といいます。

例：

$$ {\vec u \wedge \left(\vec v \wedge \vec w\right)} $$

警告: ベクトル積は結合性でも可換性でもないため、ここでのように括弧を使用する必要があります。結果は、演算が実行される順序と 3 つのベクトルの提示順序の両方に依存します。

次の 2 つの公式を (困難なく、しかし非常に手間がかかりますが) 証明することができます。

$$ {\vec u \wedge \left(\vec v\wedge \vec w\right) = (\vec u\cdot\vec w)\ \vec v\ -\ (\vec u\cdot\vec v)\ \vec w} $$

そして

$$ {\left(\vec u \wedge \vec v\right)\wedge \vec w = (\vec u\cdot\vec w)\ \vec v\ -\ (\vec v\cdot\vec w)\ \vec u} $$

ユークリッド幾何学におけるベクトル微積分について詳しく解説

平面および空間内のベクトルの演算

ベクトルとスカラーの積

2 つのベクトルの合計

2 つのベクトルの内積

意味

プロパティ

空間内の 2 つのベクトルの外積

混合品

定義と特性

混合製品の応用

二重ベクトル積

参考資料

ユークリッド幾何学におけるベクトル微積分について詳しく解説・関連動画