導入
テンソル理論という意味でのテンソル代数については、「テンソル」の記事で説明します。
数学では、テンソル代数は、その要素 (テンソルと呼ばれる) が、指定されたベクトル空間のベクトルで形成された「ワード」の線形結合によって表される体上の代数です。これらの単語間の唯一の線形依存関係は、ベクトル間の線形結合によって引き起こされます。
基礎となるベクトル空間に基底が与えられる場合、そのテンソル代数は、この基底によって生成される自由ユニタリ結合代数と同一視されます。この基底が有限の場合、テンソルは座標テーブルで識別されます。
テンソル代数を使用すると、ベクトル空間のすべての線形マップをユニタリ結合代数に向けた代数射に拡張できます。そのため、乗算構造を忘れて、ベクトル空間上のテンソル代数の構築が左側に追加されます。
テンソル代数のさまざまな商は対称代数、外部代数を構成します。
数学的構築
自由代数による定義
セット上の単語は、そのセットの要素の有限シーケンスであり、多くの場合、区切り文字や括弧なしで表記されます。集合E上の自由代数は、連結によって引き起こされる乗算を備えた、 E上の単語によってインデックス付けされたほぼゼロの族のベクトル空間です。各単語m は、mでは 1、その他では 0 であるシーケンスで識別されます。
単語の文字の非可換性により、次の等式のような通常の単純化が妨げられます。
- $$ {(a+b)(a-b) = a a – a b + b a – b b\,} $$。
実数または複素数に有効な顕著な恒等性とは対照的に、(− a b ) は (+ b a ) によってキャンセルされません。
ベクトル空間V上でテンソル代数を定義するには、 Vのすべての要素によって生成される自由代数を考慮し、それをV上の線形関係によって生成されるイデアルで商するだけで十分です。商代数はT ( V ) で表されます。このフレームワークでは、各単語の文字として機能するベクトルは、円内に内接する乗算十字と同様に、テンソル積記号によって分離されることがよくあります。
テンソル積による構築
物体K上にベクトル空間V を固定します。全員にとって
1. である
- $$ {x\otimes y= v_1\otimes v_2\otimes…\otimes v_n \otimes u_1\otimes u_2\otimes…\otimes u_m} $$。
2. 次にプロダクトを定義します
- $$ {x.y = \sum_{n,m} x_n \otimes y_m. } $$
これがK代数構造を定義していることを検証し、 T ( V ) をVのテンソル代数と呼びます。
例
- V が要素xによって生成される次元1 のベクトル空間である場合、テンソル代数T ( V )は不定数をもつ多項式の代数と同一視されます。
- V が任意の次元の場合、 V上の基底を選択すると、そのテンソル代数がVの基底における不定数を含む非可換多項式の代数と同一になります。この場合、これらの多項式の係数は、各テンソルを表す座標テーブルの値を構成します。
プロパティ
- テンソル代数T ( V )はユニタリK代数であり、一般に非可換です。
- テンソル代数は語長によってスケールされます。各テンソルは独自の方法で同種のテンソルの合計、つまり同じ長さの単語の線形結合に分解されます。これは、 T ( V ) を次の直和として書くことの翻訳です。 $$ {V^{\otimes n}} $$、$$ {n\ge 0} $$。次数nの同次テンソルは、まさに次の要素です。$$ { V^{\otimes n}} $$。したがって、 Vのベクトルは次数 1 の同次テンソルです。
- (普遍性) ベクトル空間Vからユニタリー結合代数Aへの線形写像fに対して、写像f をテンソル代数T ( V )に拡張する一意の代数射が存在します。具体的には、射は次のように送信します。 $$ {v_1\otimes…\otimes v_n} $$f ( v1 ) … f ( vn )で。この性質は、固有の同型写像に至るまでのテンソル代数を特徴づけます。