導入
数学、より正確には数理論理学において、強制とは、集合論における一貫性と独立性の結果を証明するために Paul Cohen によって発明された手法です。これは、連続体仮説がZFC理論から独立していることを証明するために 1962 年に初めて使用されました。フランケル・モストウスキー・スペッカー順列モデルの手法と組み合わせることで、ZF に対する選択公理の独立性を確立することも可能になりました。強制は60 年代に特に徹底的に見直され、簡素化され、集合論とモデル理論や直観論的論理などの数学的論理の他の分野の両方において非常に強力なテクニックであることが証明されました。
直感的な動機
強制はブール モデル手法と同等であり、ブール モデル手法の方が自然で直観的であると思われる場合もありますが、一般に適用するのはより困難です。
直感的には、強制とは宇宙V を拡大することで構成されます。このより大きな宇宙V * では、たとえば宇宙Vには存在しなかったω = {0,1,2,…} の新しい部分集合が多数存在する可能性があり、したがって連続性仮説に違反します。演繹的に不可能であり、この構造は無限に関するカントールの「パラドックス」の 1 つを反映しているだけであり、特に、レーヴェンハイム・スコレム理論によると、ZFC の可算モデルが存在するにもかかわらず (モデルという意味で) 非可算集合を含んでいるという事実を反映しているだけです。定理。原則として、たとえば次のように考えることができます。
Cohen によって最初に定義された手法は、現在では分岐強制として知られていますが、ここで説明する非分岐強制とは少し異なります。
可算推移モデルと汎用フィルター
強制手法の重要なステップは、ZFC のユニバースVが与えられた場合に、 Vにない適切なGを決定することです。 G ∉ Vであるため、 P名詞のすべての解釈のクラスは ZFC のモデルであり、最初のVの適切な拡張であることがわかります。
Vを扱うのではなく、( P ,≤,1) ∈ Mを持つ可算推移モデルM を検討します。ここで、 M は集合論のモデルであり、任意の ZFC、ZFC の公理の有限サブセット、さらにはそのバリアントのいずれかです。推移性とは、 x ∈ y ∈ Mの場合、 x ∈ Mであることを意味します。モストウスキーの補題は、メンバーシップ関係が十分に確立されている場合、 Mの推移性を仮定できることを示しています。推移性により、集合のメンバーシップやその他の基本的なプロパティをMで直観的に扱うことが可能になります。最後に、レーヴェンハイム・スコレムの定理のおかげで、常に可算モデルを使用することが可能です。
M は集合であるため、 Mにない集合も存在します (これがラッセルのパラドックスです)。 Mに追加するために選択した適切なセットGは、 Pの汎用フィルター、つまり次のようなPのサブセットでなければなりません。
- 1 ∈ G ;
- p ≥ q ∈ Gの場合、 p ∈ Gです。
- p 、 q ∈ Gの場合、 ∃r ∈ G 、 r ≤ pおよびr ≤ qです。
これはG をフィルターにします。 Gがジェネリックであるための条件は、
- D ∈ M がPの密な部分集合である場合 (つまり、 p ∈ Pが ∃ q ∈ D 、 q ≤ pを意味する場合)、 G ∩ D ≠ 0 です。
Mにない一般的なフィルターGの存在は、Rasiowa-Sikorski の補題から導き出されます。実際、もう少し強力な結果が得られます。条件p ∈ Pが与えられると、 p ∈ Gとなる汎用フィルターGが存在します。
P が可算な密な部分集合の集合しか持たない場合、実際にはG ∈ Mを選択できます。これは些細なケースです。 Pの最小要素も自明なG を与えます。実際、 Dが密でpが最小の場合、 q ≤ pの要素はp自体だけなので、 p ∈ Dになります。したがって、最小要素を含むフィルターはどれも汎用的であり、引き続きG ∈ Mを選択できます。
