平面波を表現する可能な方法。平面は、無限であると想像しなければならない波面に対応します。
平面波は、波の伝播の物理学に基づいた概念です。それは、波面が無限の平面であり、ベクトルで指定された同じ伝播方向にすべて垂直である波です。
$$ {\vec{n}} $$
。たとえば
$$ {\vec{n}} $$
z方向の場合、この波はx座標とy座標に依存しません。 - $$ {u(x,y,z,t) = u (z, t)\,} $$。
単色平面波
波に含まれる色が1 つだけの場合、波は単色になります。このような平面波は正弦波の形になります。
- $$ {u(\vec{r},t) = a\cos(\vec{k}\cdot\vec{r} – \omega t),} $$
または
$$ {\vec{k} = k \vec{n}} $$
は波数ベクトル、 $$ {\omega\,} $$
脈動です、 $$ {\vec{r}=(x,y,z)} $$
は位置ベクトルであり、波の複素振幅を持ちます。このタイプの波は、使用が簡単で、多くの波を適切に近似できるため、物理学で特に役立ちます。しかし、純粋に単色の平面波は無限のエネルギーを持っているため、厳密には自然界には存在しませんが、これは不可能です。
- 結果
- 間の関係$$ {\omega\,} $$そして$$ {\vec{k}} $$伝播方程式 (波動方程式を参照) のおかげで得られる分散関係は分散関係と呼ばれます。それは伝播媒体の物理的特性とその形状によって異なります。
- 位相速度は次のように定義されます。 $$ {v_\phi = \frac{\omega}{Re[k]}} $$グループ速度が書き込まれている間$$ {v_g = \frac{\partial\omega}{\partial Re[k]}} $$。 k の虚数部は波の減衰に相当するため現れません。
実際の平面波
純粋な平面波が自然界に存在しない場合でも、限られた空間領域でそれに近づくことは可能です。考慮した体積内で波面が十分に平面で平行であれば十分です。さらに、平面波は無限の時間的広がりを持つため、単色になることはほとんどありません。
ただし、実際の平面波は、波数ベクトルが 1 つの同じ方向に平行な単色平面波に分解できます。
- $$ {u(\vec{r},t) = \int a(\omega) e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} – \omega t)} d\omega,} $$
ここで、 a (ω) は複素数値関数であり、さまざまな形式 (ガウス関数など) をとることができます。
この単色の平面波の重ね合わせにより、あらゆる平面波を記述することが可能になります。
