記法 (数学) – 定義

導入

数学では、記述や実証を圧縮して形式化するために一連の表記を使用します。

表記法に 2 つの翻訳が指定されている場合、1 つは逐語訳であり、もう 1 つは自然な翻訳です。

この記事では、ラテン語の数学表記を扱います。現代アラビア数学表記法など、他の非ラテン数学表記法もあります。

視覚障害者向けの数学表記もあります。

導入

他の形式言語と同様、数学的表記法は、命題を、その配置が 1 つの意味しか持たない限られた記号のセットに分解することによって、命題の曖昧さを取り除くことを目的としています。

たとえば、 x が1 の価値があると言うには、次のように使用します。

$$ {x=1\,} $$

この科学言語は、程度は低いですが、同じ言語を話さない数学者間のコミュニケーションを促進することも可能にします。自然言語を完全に置き換えるわけではありませんが、最も複雑な数学的概念を多くの言語や文化にわたってほぼ同一の形式で表現できるため、文法をすべて習得していない人々による数学的概念についての誤解を避けることができます。そして使用されるコミュニケーション言語の構文上の微妙さ。

ただし、ラテン語の数学的表記法を使用する文化ファミリー内であっても、形式言語の特定の概念は、特定の言語領域に固有のままです。したがって、フランス語圏の数学文献では、次の主張が行われます。

$$ {A \subset B} $$

「集合 A は部分集合であるか、B に等しい」を意味しますが、英語の数学文献では、むしろ「集合 A は B の厳密な部分集合である」を意味します。

次の記号リストはすべてを網羅したものではありません。ただし、ここで紹介されている記号はすべて、フランス語圏の数学文献で広く使用されています。

セット

共通セット

• $$ {\mathbb{N}} $$
  、自然数のセット。
• $$ {\mathbb{Z}} $$
  、相対整数のセット。
• $$ {\mathbb{D}} $$
  、10 進数のセット。
• $$ {\mathbb{Q}} $$
  、有理数のセット。
• $$ {\mathbb{R}} $$
  、実数のセット。
• $$ {\mathbb{R_+}} $$
  、正またはゼロの実数のセット。
• $$ {\mathbb{R_-}} $$
  、負またはゼロの実数のセット。
• $$ {\mathbb{C}} $$
  、複素数のセット。
• $$ {\mathbb{N^*}, \mathbb{Z}^*, \mathbb{D^*}, \mathbb{Q^*}, \mathbb{R^*}, \mathbb{R_{+}^*}, \mathbb{R_{-}^*}, \mathbb{C^*}} $$
  、同じゼロプライベートセット。

集合上の関係

• $$ {\in} $$
  、所属。

$$ {n\in\mathbb{N}} $$

• n は自然数の集合に属します。
• n は自然数です。

• $$ {\subset} $$
  、包含。

$$ {\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}} $$

• $$ {\mathbb{Z}} $$

論理演算子

詳細については、「ブール代数」を参照してください。

• $$ {\land} $$
  、 そして。
• $$ {\lor} $$
  、 または。
• $$ {\Rightarrow} $$
  、暗黙的に。
• $$ {\Leftrightarrow} $$
  、と同等です。

算術記号

これらの記号は、長いシリーズの記述を簡略化するために使用されます (点線の使用を避けるなど)。これらのそれぞれのケースでは、特定のセット内の値を取るダミー変数と呼ばれる変数を使用します。このダミー変数を使用すると、シンボルの後に配置される一般用語を記述できるようになります。

和

$$ {\sum} $$

(ギリシャ文字: シグマ大文字)

例

• nが厳密に正の整数の場合:

$$ {\sum_{k=1}^n k^2 =1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} $$

ここで、 k はダミー変数であり、セット[1, n ] (整数のセット) 内の値を受け取ります。この合計の一般項はk ²です。

• Ω は偶数の正の整数の集合です

$$ {\sum_{k\in\Omega,\ k<50} k^{2} = \sum_{k=0}^{24} (2k)^2} $$

ここで、 k は2 つの条件によって定義されるセットに属します。その要素は偶数の正の整数であり、厳密に 50 より小さいです。

• 無限和の例:

$$ {\forall x \in \R,\ \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x} $$

もっと簡潔に書くこともできたでしょう:

$$ {1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^k}{k!}+\dots = e^x} $$

慣例により、空のセットによってインデックス付けされた合計はゼロになります。

製品

$$ {\prod} $$

(ギリシャ文字: Capital Pi)

この記号は和記号と同様に使用されます。

例

$$ {\prod_{k=1}^{n} \exp(k^{2}) = \exp\left(\sum_{k=1}^{n} k^{2}\right) = \exp\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)} $$

もっと簡潔に書くこともできたでしょう:

$$ {\exp(1^2)\cdot\exp(2^2)\cdot\exp(3^2)\cdot\ldots\cdot\exp(n^2) = \exp\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)} $$

慣例により、空のセットによってインデックス付けされた積は 1 の価値があります。

階乗

！ (感嘆符)

これは製品の特殊なケースです。

$$ {n!=\prod_{1\le k\le n} k} $$

(ここで、 nとk は暗黙的に整数であると想定されます)。

言い換えると、

整数nが厳密に正の場合:

$$ {n! = 1\times 2\times 3 \dots \times n} $$

負またはゼロの場合は、 n ! = 1。