カントールの定理は、集合論の分野における数学の定理であり、その名前は数学者ゲオルク カントールに由来します。
カントールは、任意の集合Eについて、 Eの基数は常に の基数よりも厳密に小さいことを証明します。
$$ {\mathfrak P(E)} $$
Eのパーツのセットです。Eが有限集合の場合、 Eの基数はEの要素の数であり、 Eにn要素が含まれる場合、 Eの部分の集合には2 n個の要素が含まれることが示されるため、結果は明らかです。したがって、任意の整数nについて、 n < 2 n であることを簡単に検証できます。
Eが無限集合の場合、基数の比較からやり直す必要があります。
- $$ {\mathrm{card} (A) \leq \mathrm{card}(B)} $$A から B への注入が存在する場合に限ります。
カントールは次のことを実証しています
$$ {\mathrm{card}(E) < \mathrm{card} (\mathfrak P(E))} $$
ばかげた推論による：彼は次のように考えている$$ {\mathrm{card}(E) \geq \mathrm{card} (\mathfrak P(E))} $$
、つまり、 $$ {\mathfrak P(E)} $$
Eに向かうと矛盾に行き着く。- この注入をf と呼びます。次に、次の方法でEのサブセットB を構築します。
- x をEの要素とする、
- x にfによる先行詞がない場合、 x はBにありません
- x にfによる先行詞がある場合、 f は単射なので一意です。この前件A xに注目します。 x がA xに属している場合、 x はB にありません。xがA xに属していない場合、 x はBにあります。
- x をEの要素とする、
- B はEの一部であるため、 fによるイメージを持ち、これをy と呼びます。そこで生じる疑問は、「 Bの要素は存在するのか、存在しないのか」ということです。前例Bがあります。
- yがBにある場合、 Bの構築により、 y はその先行詞に属さないため、 y は… B に属しません。
- yがBにない場合でも、 Bの構造によれば、 y はその先行詞に属している必要があるため、 y は… B に属します。
- 2 つの仮説は矛盾を引き起こすため、 $$ {\mathfrak P(E)} $$Eに向かって
このタイプの推論は、対角論法と呼ばれ、ラッセル (およびザーメロ) によって、互いに属さない集合の集合のパラドックスに使用されました。