ひずみテンソル – 定義

導入

ひずみテンソルは、制約 (内部力) から生じる局所的な変形の状態を記述するために使用される次数 2 の対称テンソルです。

固体の変形状態はテンソル フィールドによって記述されます。つまり、変形テンソルは固体のすべての点で定義されます。したがって、変形フィールドについて話します。

コンポーネントは ε _ijで表され、次のようになります。

• 対角項ε _{ii は}、方向i (軸x _iに沿った) の相対伸びです。
• 他の項 ε _ij ( i ≠ j ) は、直角の半分の変化である γ です (変形前の少量の立方体物質を想定)。

線形弾性の枠組みでは、ひずみテンソルは一般化されたフックの法則によって応力場に関連付けられます。

変位フィールド

小さな変形の場合、このテンソルは変位フィールドから派生したテンソルであるGreen tensorです。

A を静止している固体の点とします。変形後は点A’になります。点Aの変位をベクトルと呼びます

$$ {\vec{u}(A) = \overrightarrow{AA’}} $$

ひずみテンソルを変位場に関連付けることができます。

$$ {\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )} $$

(線形変形オペレータ)。

相対体積変動

相対的な体積変化 Δ V / V ₀はテンソルのトレースです。

$$ {\frac{\Delta V}{V_0} = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}} $$

実際、エッジaの立方体を考えると、変形後は、寸法が準立方体 (角度の変化によって体積が変化しない) になります。

$$ {\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 – a^3}{a^3}} $$

変形が非常に少ないため、

1 >> ε _ii >> ε _ii ·ε _jj >> ε ₁₁ ·ε ₂₂ ·ε ₃₃

したがって結果です。

このことから、純粋なせん断の場合には体積に変化はないことが推測されます。

より厳密には、相対体積変化 Δ V / V ₀は |F|-1 に等しくなります。

実際に、 ( u ₁₀ , u ₂₀ , u ₃₀ )によって生成される基本Ω ₀のプリズムを考えてみましょう。 Φによるその変換は、( u ₁ 、 u ₂ 、 u ₃ )によって生成されるプリズムです。

dV を変換のボリュームとし、 dV _{0 を}初期プリズムのボリュームとします。

我々は持っています

$$ {dV = (u_1 \wedge u_2 \cdot u_3) = (\underline{\underline{F}}(u_{10}) \wedge \underline{\underline{F}}(u_{20}) \cdot \underline{\underline{F}}(u_{30})) = |\underline{\underline{F}}| (u_{10} \wedge u_{20}\cdot u_{30}) = |\underline{\underline{F}}| dV_0 } $$

したがって、Δ V / V = |F|-1

変形演算子の定義

一次元伸び

軸x ₁に平行な線分 [ AB ] が線分 [ A’B’ ] になり、変形もx ₁に平行になる場合を考えてみましょう。

変形 ε _{11 の}価値は次のとおりです (代数距離で表されます)。

$$ {\varepsilon_{11} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{\overline{A’B’}-\overline{AB}}{\overline{AB}}} $$

それを知って

$$ {\overline{AA’} = u_1(A)} $$

そして

$$ {\overline{BB’} = u_1(B)} $$

したがって、変形には価値があります

$$ {\varepsilon_{11} = \frac{\overline{A’A} + \overline{AB} + \overline{BB’}}{\overline{AB}} – 1} $$

$$ {\varepsilon_{11} = \frac{u_1(B)-u_1(A) + \overline{AB}}{\overline{AB}} – 1} $$

小さな変形の中に身を置くと、 u ₁の 1 次の限定展開を実行できます。

$$ {u_1(B) \simeq u_1(A) + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}} $$

など

$$ {\varepsilon_{11} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}} $$

より一般的には:

$$ {\varepsilon_{ii} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_i}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \right )} $$

純粋なせん断

次に、純粋なせん断について考えてみましょう。 [ AB ] がx ₁に平行で、[ AD ] がx ₂に平行である正方形ABCD は、平面の最初の二等分線に沿って対称な菱形AB’C’D’に変換されます。

角度 γ の正接は次のとおりです。

$$ {\tan(\gamma) = \frac{\overline{BB’}}{\overline{AB}}} $$

。

小さな変形の場合は、

$$ {\tan(\gamma) \simeq \gamma} $$

同様に

$$ {\overline{BB’} = u_2(B) \simeq u_2(A) + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}} $$

u ₂ ( A ) = 0 の場合、次のようになります。

$$ {\gamma \simeq \frac{\partial u_2}{\partial x_1}} $$

ここでセグメント [ AD ] を考えてみます。

$$ {\gamma \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_2}} $$

など

$$ {\gamma = \varepsilon_{12} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right )} $$

ひし形を回転させると、平均を取ることに興味が湧いてきます。次に、2 つの角度を定義する必要があります。

注: 記事「弾性変形」で定義された角度 γ は、ここで定義された角度の 2 倍の価値があります。

一般的な定義

変形オペレータは、ある点における媒体の変形、つまり媒体が受ける変形に伴うセグメントの長さの変化を特徴付けることを目的としたオペレータです。

A ‘ B ‘ に変換されるセグメントAB を考えます。この演算子を使用すると、 | を定量化できます。 A ‘ B ‘|²-| AB |²。

(十分に規則的な) 関数によって中央の各点の変換を記述します。

$$ {\underline{OA’}=\underline{\Phi}(A,t)} $$

次に、変形の概念を導入して、変形後の固体の 2 点間の距離の変化を測定します。

| の尺度を求めます。 A ‘ B ‘|²-| AB |²。

しかし、私たちは持っています

$$ {\underline{OA’} = \underline{\Phi}(A,t)} $$

したがって、次のように書くことができます。

$$ {\underline{OB’} = \underline{OA’} + \underline{\underline{F}} \cdot \underline{AB} + o(\|\underline{AB}\|)} $$

または

$$ {\underline{\underline{F}} = \underline{\underline{grad}} (\underline{\Phi}) = \frac{\partial\underline{\Phi}}{\partial A}} $$

は変換の勾配です。

したがって、次のようになります。

$$ {\|A’B’\|^2-\|AB\|^2 = \underline{AB} \left ( \underline{\underline{F}}^T \cdot \underline{\underline{F}} – \underline{\underline{Id}} \right ) \underline{AB} } $$

私たちはポーズをとります:

変位ベクトルを導入すると

以下を取得します。

$$ {\underline{\underline{E}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \cdot\frac{\partial\underline{u}}{\partial A} + \frac{\partial\underline{u}}{\partial A} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \right) } $$

小さな変形を仮定すると、線形化された変形演算子が得られます。