代数曲線は、そのデカルト方程式を多項式形式に置くことができる曲線(ほとんどの場合は平面)です。非代数曲線は超越曲線と呼ばれます。
代数幾何学では、曲線はその連結成分がすべて 1次元である代数多様体です。実際には、非特異で連結された射影曲線に限定されることがよくあります。
意味
代数曲線は、より正式には、デカルト座標が代数方程式の解である幾何学的空間内の点の集合です。
考慮される幾何学的空間は、ほとんどの場合、実際のユークリッド アフィン平面ですが、次の可能性もあります。
- – 2 次元を超える空間を使用する (平面の代わりに空間またはハイパースペース)。
- – ユークリッド アフィンとは別の幾何学の枠組みに自分自身を置くこと (たとえば射影)。
- – 実数以外の基底体を扱うため (たとえば、暗号化では、有限体の計画を使用します)。
ただし、ここでは実際のユークリッド アフィン平面の場合に限定します。
平面内の点Mのデカルト座標は、それぞれ横座標および縦座標と呼ばれる 2 つの数値 (通常は実数ですが、これは考慮する平面によって異なります) であり、通常はxおよびyで表されます。それらは、平面の 2 つの直交軸上の点Mの投影の値を指定します。
平面内の代数方程式は、次の形式で表すことができる方程式です。
- $$ {P ( x , y ) = 0 \,} $$
ここで、 P ( x , y ) は、デカルト座標xおよびyの非ゼロ次の既約多項式を表します。
順序と分類
このように曲線に関連付けられた多項式P は一意ではありません。実際、それは乗法定数までしか定義されていません。Pが曲線に関連付けられている場合は、任意の多項式 λ です。 λ がゼロ以外の実数であるPもそれに関連付けられます。ただし、これらの多項式はすべて同じ次数であり、代数曲線の次数と呼ばれます。
したがって、代数曲線は次数nに従って分類できます。
- n = 1 の場合、 recticsが得られます。これらは実際には直線です。
- n = 2 の場合、円錐曲線が得られます。これは、円錐と平面の交点として取得できるため、このように呼ばれます。それらは 3 つのファミリーに分けられます。
- –円を含む楕円。
- –双曲線（正双曲線を含む）。
- – そしてたとえ話。
- n = 3 の場合、 3 次関数が得られます。
- n = 4 の場合、四次関数が得られます。
- n = 5 の場合、五次関数が得られます。
- n = 6 の場合、セクティクスが得られます。
- n = 7 の場合、敗血症が発生します。
- n = 8 の場合、 octicsまたはbiquartics が得られます。
- n = 9 の場合、ノニックスまたはトリキュービックスが得られます。
- n = 10 の場合、 decicsまたはbiquinticsが得られます。
- n = 11 の場合、 undecicsが得られます。
- n = 12 の場合、十二分極または三四分極が得られます。
- それを超えて、さらには 9 次以降の場合でも、むしろ「 n次の代数曲線」と呼ばれます…
