導入
数学では、順序数をオブジェクトと呼び、整然とした集合の順序の種類を特徴付けることができます。言語学における、 first 、 Second 、 third 、 fourなどの単語のようなものです。は序数形容詞と呼ばれ、コレクション内のオブジェクトのランク、または連続するイベントの順序を指定するために使用されます。ゲオルグ・カントールは（三角級数に関する研究中に）自分が持っていた概念に同様の名前を付けるように導かれました。この機会に導入されたのは、カーディナリティ(「要素の数」) で集合を測定するよりも正確な方法で、彼が遭遇した集合の順序のタイプを特徴付けるためです。実際、有限序数は自然整数と同一視でき、自然整数自体は有限基数と同一視されますが、無限集合の場合、これは当てはまりません。すべての基数は依然として序数と同一視可能ですが、その逆数は偽です。
導入
自然数は2 つの目的に使用できます。1 つはセットのサイズを記述するため、もう 1 つは順序付けられたシーケンス内の要素の位置を示すためです。有限の場合、これらの概念はそれぞれ基数 (1、2、3、…) および序数 (1、2、3、…) 形容詞に対応し、非常に似ています。ただし、無限の場合は、基数と序数を区別する必要があります。
基数の概念が特定の構造を持たない集合に関連付けられている場合、序数はこの集合の要素の順序、より正確には適切な順序に密接に関連付けられます。簡単に言うと、整然としたセットとは、空でないすべての部分に最小の要素が含まれるセットです。セットの最小要素には 0、次は 1、次は 2 と番号を付けることができますが、セットが無限になるとすぐに、セットのすべての要素を慎重に指定するために適切な表記が必要になります。
たとえば、いわゆる辞書順に従って順序付けられた正またはゼロの整数のペアのセットを考えてみましょう。
- $$ {(0,0) \;\triangleleft\; (0,1) \;\triangleleft\; (0,2) \;\triangleleft\; (0,3) \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; (1,0) \;\triangleleft\; (1,1) \;\triangleleft\; (1,2) \;\triangleleft\; (1,3) \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; (n,0) \;\triangleleft\; (n,1) \;\triangleleft\; (n,2) \;\triangleleft\; (n,3) \;\triangleleft\; \ldots } $$
この順序セットの要素に「番号を付ける」テクニックを想像できます。
(0.0)、(0.1)、(0.2)、(0.3)などと言います。それぞれ 0、1、2、3 などの位置を占めます。
(1,0) は、無限の要素の後の最小の要素です。私たちはωの位置に注目することに同意します。
(1,1) はωに続く要素です。その場所にはω + 1などのインデックスが付けられます。
(2,0) は、要素の倍無限の後に見つかった最小の要素です。それは位置ω + ωを占め、 ω2とも表されます。より一般的には、 ( n ,0) はω n の位置を占めます。前の要素に続いて追加の要素がある場合、それらは無限の後に見つかり、 ω 2 、ω 2 + 1などの位置が示されることになります。
たとえば、カップルの代わりに、任意の順序のトリプルまたはnタプル ( a 1 、 a 2 、…、 a n -1 、 a n ) を使用した場合、一般的に、 ω n − 1 a 1 +に注目します。 ω n − 2 a 2 + ω。 a n − 1 + a n占有位置。
順序数の理論により、特に、整然としたセットの要素のヒューリスティックな番号付けに正確な意味を与えることができます。
