導入
統計および確率理論において、ライスの法則は連続 (つまり密度) 統計法則です。
これは、アンテナで受信される前に複数のパス (マルチパス) に沿って伝播する無線信号の動作を説明するために使用されるレイリーの法則を一般化したものです。
| 米 | |
|---|---|
  | |
  | |
| 設定 | $$ {\nu\ge 0\,} $$ $$ {\sigma\ge 0\,} $$ |
| サポート | $$ {x\in [0;\infty)} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ {\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)} {2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)} $$ |
| 分布関数 | $$ {1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)} $$ ここで、 Q 1 はマーカム Q 関数です。 |
| 希望 | $$ {\sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)} $$ |
| 分散 | $$ {2\sigma^2+\nu^2-\frac{\pi\sigma^2}{2}L_{1/2}^2\left(\frac{-\nu^2}{2\sigma^2}\right)} $$ |
| 非対称性（統計） | （複雑） |
| 尖度 (標準化されていない) | （複雑） |
特性評価
同じ分散σ 2を持つ 2 つの中心にある独立したガウス変数を考えてみましょう。これらが平面上の点の 2 つの座標を表すと考えると、この点から原点までの距離はレイリーの法則に従います。
- $$ {f(x,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-x^2} {2\sigma^2}\right)} $$。
分布が座標(ν,ν)の点に中心があると仮定すると、確率密度は次のようになります。
- $$ { f(x|\nu,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)} {2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)} $$
ここで、 I 0 ( z ) は、第 1種、次数 0 の修正ベッセル関数です。
関連ディストリビューション
- 変数$$ {r = \sqrt{x^2 + y^2}} $$米法に従って配布されている$$ {R \sim \mathrm{Rice}\left(\sigma,\nu\right)} $$という条件で$$ {X \sim N\left(\nu\cos\theta,\sigma^2\right)} $$そして$$ {Y \sim N\left(\nu \sin\theta,\sigma^2\right)} $$は 2 つの独立したガウス変数です。
- 変数を取得するには$$ {R \sim \mathrm{Rice}\left(\nu,\sigma\right)} $$、別の手順を検討できます。
- 2. 2 P + 2 自由度のカイ 2 乗則に従ってX を描画します。
- 3. 尋ねる$$ {R = \sigma\sqrt{X}.} $$
- もし$$ {R \sim \mathrm{Rice}\left(1,\nu\right)} $$この場合、 R 2 は2 つの自由度と非心パラメータν 2を持つ非心カイ二乗分布を持ちます。
プロパティ
瞬間
最初の瞬間 (非中心) は次のとおりです。
- $$ {\mu_1= \sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)} $$
- $$ {\mu_2= 2\sigma^2+\nu^2\,} $$
- $$ {\mu_3= 3\sigma^3\sqrt{\pi/2}\,\,L_{3/2}(-\nu^2/2\sigma^2)} $$
- $$ {\mu_4= 8\sigma^4+8\sigma^2\nu^2+\nu^4\,} $$
- $$ {\mu_5=15\sigma^5\sqrt{\pi/2}\,\,L_{5/2}(-\nu^2/2\sigma^2)} $$
- $$ {\mu_6=48\sigma^6+72\sigma^4\nu^2+18\sigma^2\nu^4+\nu^6\,} $$
- $$ {L_\nu(x)=L_\nu^0(x)=M(-\nu,1,x)=\,_1F_1(-\nu;1;x)} $$
ここで、 Lν ( x ) はラゲール多項式を表します。
ν = 1/2の場合:
- $$ {L_{1/2}(x)=\,_1F_1\left( -\frac{1}{2};1;x\right)} $$
- $$ {=e^{x/2} \left[\left(1-x\right)I_0\left(\frac{-x}{2}\right) -xI_1\left(\frac{-x}{2}\right) \right].} $$
一般にモーメントは次のように与えられます。
- $$ {\mu_k=s^k2^{k/2}\,\Gamma(1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu^2/2\sigma^2), \,} $$
ここで、 s = σ 1/2です。
kが偶数の場合、モーメントは σ と ν の多項式になります。
境界例
引数の値が大きい場合、ラゲール多項式は次のようになります (Abramowitz & Stegun §13.5.1 を参照)
- $$ {\lim_{x\rightarrow -\infty}L_\nu(x)=\frac{|x|^\nu}{\Gamma(1+\nu)}.} $$
νが大きくなるか σ が小さくなると、平均がνになり、分散が σ 2 になることがわかります。