クラスカル・セーケレス指標 – 定義

Kruskal-Szeres メトリクスは、 Schwarzschild メトリクスを最大限に分析的に拡張したものです。クラスカル・セーケレス計量の導入は、シュワルツシルトの計量に対する追加の解決策を提供し、特にブラック ホール、つまりホワイトホールに対応するドメインと二重のドメインを発見します。

1960 年、クラスカルとセーケレスは、シュヴァルツシルト半径に存在する重力特異点が真の物理的特異点ではないことを発見しました。一般相対性理論では、観察可能な効果はリーマン テンソルによって記述されます。シュヴァルツシルト計量に存在する特異点は、自由落下で観測者が経験する潮汐力と、シュヴァルツシルト半径の^{レベルで無限大となる}R a _{b c dが}適切な座標を基準にして表現されるとそうではないような曲率不変量に関係します。システム。地球上の北極のように、これは単純な点ですが、特定の座標系では特異点になり、たとえば赤道投影のように直線上に広がる必要がありますが、極投影では完全に通常の方法で動作します。このタイプの特異点は、座標特異点と呼ばれます。

Schwarzschild 計量から Kruskal-Szeres 計量に移動するために使用される座標変更の重要なステップは、Regge-Wheelerタートル座標r _*を使用することです。

$$ {r_* = r + r_S \ln\left({r \over r_S} -1\right)} $$

ここで、 r _{S は}シュヴァルツシルト半径です

これから、2 つの新しい座標を定義できます。

$$ {u = ct + r_* \;} $$

$$ {v = ct – r_* \;} $$

これらの座標を使用すると、シュヴァルツシルト指標のrt部分は次のようになります。

$$ {d\,s^2 = – \left(1 – \frac{r_S}{r}\right)\,du\,dv} $$

ここで、 rは次のように与えられるuとvの関数とみなされます。

$$ {r + r_S \ln\left({r \over r_S} -1\right) = r_* = (u -v)/2} $$

ハイブリッド座標( u , r )または( v , r )は、エディントン-フィンケルシュタイン座標と呼ばれます。

その後、メトリクスを次のように書き換えることができます。

$$ {ds^2 = – \frac{r_S e^{-r/r_S}}{r} e^{{v-u}/{2r_S}}\,du\,dv} $$

新しい連絡先の詳細を入力すると、次のようになります。

$$ {U = -e^{-u/2r_S}} $$

$$ {V = e^{v/2r_S}} $$

メトリクスは次のようになります。

$$ {ds^2 = \frac{4r_S^3 e^{-r/r_S}}{r}\,dU\,dV} $$

そしてr = r _S、つまりU = 0またはV = 0では特異点はなくなります。

したがって、シュワルツシルトの解は、 r > 0であるすべての値に拡張されました。 R _{a b c d} R ^{a b c d}を計算することで確認できるように、 r = 0に存在する特異点は持続します。それは物理的な特異点です。

Kruskal によって与えられた形式には、最終的な座標変換が必要です。

T = ( V + U ) / 2

X = ( V − U ) / 2

角の部分を再導入すると、次のようになります。

$$ {ds^2 = \frac{4r_S^3 e^{-r/r_S}}{r}\,(dX^2 – dT^2) + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2)} $$

変数TおよびXの定義域は、条件r > 0によって与えられます。これは次のようになります:

X ² − T ² > − 1