この記事はシリーズの一部です 小学校数学 |
| 代数 |
| 分析 |
| 算術 |
| ジオメトリ |
| 論理 |
| 確率 |
| 統計的 |
連続性は数値関数の非常に直観的な特性です。「鉛筆を持ち上げずに」、つまり「ジャンプ」をせずにグラフを描くことができれば、その関数は連続的であると大きな間違いなく言えます。私たちは、制限ツールを使用してこの概念を形式化します。
一点連続機能
関数y = f ( x )が値aで連続であるとは、次の場合に限ります。
1 ) f ( x )が定義される
2 )
$$ {\lim_{ x\to a} f(x)} $$
存在します3 )
$$ {\lim_{ x\to a} f(x) = f(a)} $$
。条件 3) が満たされると、最初の 2 つの条件も満たされることは明らかです。
これが右側のみ ( x > aの場合) に当てはまる場合、 f は右側のaで連続であると言います。左側もx < aについて同様です。
fがaで連続しているということは、 f がaで右にも左にも連続しているということです。
一定期間にわたる連続性
f が[ a ;上で連続であることを言います。 b ]の場合:
-f は] aで連続です。 b [
– fの右側の制限
$$ {x \to a} $$
はf ( a )であり、次の場合のfの左端です。 $$ {x \to b} $$
はf ( b )に等しい。
微分可能性と連続性
点または区間で微分可能な関数はすべて、この区間でも連続です。
その逆は誤りです
結果:通常の関数
多項式、有理関数 (多項式の商)、および三角関数は、定義区間で微分可能であるため、それらの定義区間でも連続です。
さらに、平方根関数の連続性があります。 $$ {[0;+\infty[} $$
$$ {\R} $$
。
連続関数の代数および連続関数で構成される代数
定義により、f は a で連続です。 $$ {\lim_{x \to a}f(x) = f(a)} $$
したがって、極限に関する定理は次の結果をもたらします。
連続関数の代数
f と g を 同じ区間 I 上の 2 つの連続関数としましょう。それで ：
–
$$ {\forall (\alpha ; \beta) \in \R^2 \alpha f + \beta g} $$
(線形結合)
– f g (製品)
–
$$ {g \ne 0} $$
$$ {\frac{f}{g}} $$
（商）
は I 上で連続しています。
連続関数で構成される
f が I 上で連続で、 g が f ( I ) 上で連続である場合、
$$ {g \circ f} $$
I
では連続です。
参考資料
- Wiskunde – afrikaans
- Mathematik – alémanique
- ትምህርተ ሂሳብ – amharique
- Matematicas – aragonais
- Rīmcræft – ancien anglais
- गणित – angika