一般化された二項公式により、2 つの項の和の実数または複素累乗を級数和の形式で計算することが可能になり、ニュートンの二項公式が一般化されます。
すべての実数または複素数r 、 x 、およびy ( y ≠ 0) に対して、次のような式が得られます。 x / y |<1、
- $$ {(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}} $$
または
$$ {{r \choose k}=\frac{r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}} $$
は二項係数です。( k = 0 が空の積であるため 1 に等しい場合、およびk = 1 がrに等しい場合、追加の因数 (r – 1) などはこの場合には現れません) 。
対応する級数は収束しており、実数または複素数xとy のモジュラス比が厳密に 1 より小さい場合には常に等式が有効です。
等比級数の和は、 y = 1 およびr = -1 として得られる式の特殊なケースです。
この式は、可換 ( xy = yx ) であるバナッハ代数の要素xとyに対しても有効なままであり、 yは可逆であり、 || になります。 x .y -1 ||< 1。