導入
数学におけるバナハ代数は関数解析の基本構造の 1 つであり、ポーランドの数学者ステファン バナハ (1892 ～ 1945 年) にちなんで名付けられました。
意味
定義—バナッハ代数
$$ {(\mathbb A,+,\cdot,\times,\|\;\|)} $$
体の上に$$ {\mathbb K =\mathbb R} $$
または$$ {\mathbb C} $$
は、基礎となる正規化ベクトル空間がさらにバナッハ空間 (完全な正規化ベクトル空間) となるような正規化 K 代数です。著者によっては、代数の構造に単位要素の存在が必要かどうかが決まります。ユニタリー代数と非ユニタリー代数という用語を使用すると、構造を区別できます。関数解析では、中立的で必ず一意な要素e が存在し、 eのノルムが 1 である場合、バナッハ代数はユニタリであると言われます。
積の法則が可換である場合、可換バナッハ代数についても話します。
例
- H が完全に正規化された実数または複素数ベクトル空間である場合、 Hの有界演算子の代数 (つまり、連続実数または複素同型写像) は、対応する演算子のノルム、演算子の和および合成に対する実数または複素数 (ユニタリー) バナッハ代数になります。 。これから、バナッハ代数の表現理論が導き出されます。
- (前の) 例は、特に有限次元の準同型性の代数に関するものです。 $$ {\mathbf {M_n( \mathbb R)}} $$そして$$ {\mathbf {M_b(\mathbb C)}} $$は、古典的な行列ノルムのバナッハ代数です。
- 上の可積分関数の空間 L 1 $$ {\mathbb R} $$(ほぼどこでもモジュロ等式) は、畳み込み積に対する非ユニタリなバナッハ代数です。リーマンの積分理論では、この代数は、ノルムを備えた合理的な空間、たとえばコンパクトなサポートを備えた連続関数の空間の完成によって、単一の同型写像まで構築されます。$$ {\mathbf L} $$1 .
- より一般的には、ルベーグ理論では、測定空間上の可積分関数の空間はバナッハ空間です。完全性を実現するには、L 1収束とほぼすべての場所での収束との間の接近に基づくデモンストレーションが必要です。
ユニタリ代数の性質
どちらか
$$ {\mathbb A} $$
単位要素eを持つユニタリバナッハ代数。
リバースパスアプリケーションのプロパティ
すべての代数と同様に、 Aの可逆要素は群を形成します。中心e 、半径 1 の開いた球に属する要素x はすべてその一部であり、その逆数は比xの等比級数の和として表すことができます。
- $$ {\|x\|<1\Longrightarrow (e-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n} $$
バナッハ代数の可逆要素の群G は開いたものです。
可逆要素 a を A のものとし、
- r = | | a − 1 | | −１ ．
x を次の要素とします。
$$ {\mathbb A} $$
そのような| | a − x | | < r 。それで- | | a − 1 ( a − x ) | | < 1
したがって、 e − a − 1 ( a − x )は可逆です。要素aは可逆であるため、積は
- a ( e − a −1 ( a − x )) = x
逆写像への受け渡しは、 GへのGの同相写像であり、 G に位相群構造を与えます。これは微分可能なアプリケーションでもあり、点xでの微分は次の式で求められます。
- $$ {d_x \mathrm{Inv} (h)=-x^{-1}hx^{-1}\,} $$
完全性の仮定は不可欠であり、これらの結果は不完全な標準化代数では不十分です。たとえば、実係数をもつ多項式の代数を考えてみましょう。
$$ {\mathbb{R}[X]} $$
あらゆる標準で提供されます。インバーティブルのグループは$$ {\mathbb{R}^{*}} $$
厳密なベクトル部分空間に含まれる$$ {\mathbb{R}} $$
の$$ {\mathbb{R}[X]} $$
したがって内部は空です。したがって、開いていません。これは特に次のことを示しています$$ {\mathbb{R}[X]} $$
の構造を提供することはできません$$ {\mathbb{R}} $$
-完全に標準化された代数。結果はベアの定理の結果でもあります。イデアルと商代数
バナッハ代数の最大イデアルは閉じています。
A をバナッハ代数、U をその可逆群、I を A の最大イデアルとします。U が開いているため、I は閉じている U の補数に含まれます。したがって、その付着力 J も次のようになります。 したがって、J は A の厳密な理想です。J に I も含まれており、I が最大であるため、I=J となり、I は A に閉じられます。
すべての非ゼロ要素が可逆である複素バナッハ代数は、アイソメトリーを介して複素数体と同型です (ゲルファンド・マズールの定理)。特に、複素バナッハ代数の最大イデアルは閉じた超平面です。可換性は定理の結果です。
