ここでは、可換体の係数を持つ 1 以上の次数の多項式を考えます。
$$ {\mathbb{K}} $$
。多項式 P の因数分解を、次数が P の次数よりも厳密に小さい多項式の積の形式でこの多項式を記述することを呼びます。(前の意味での) 因数分解を認めない多項式は既約であると言われます。これは、特に次数1 の多項式の場合に当てはまります。古典的な定理は、既約多項式の階乗環上で、既約多項式の積への因数分解が存在することです。この因数分解は、因数の順列および可逆に至るまで、本質的に一意です。
有限体の係数をもつ多項式を因数分解するためのアルゴリズム、例えば、Berlekamp アルゴリズムが知られています。
よくあるケース
よくある 2 つのケースは、次の係数を持つ多項式のケースです。
$$ {\ \R} $$
および係数を含む多項式$$ {\ \mathbb{C}} $$
。- 唯一の既約多項式$$ {\ \mathbb{C}[X]} $$は 1 次の多項式です。複素係数を持つn次の多項式は次のように因数分解できます。$$ {\ \mathbb{C}[X]} $$n個の 1 次多項式の積として。これは代数学の基本定理、またはダランベール-ガウスの定理です。
- の既約多項式$$ {\ \R[X]} $$は 2 種類あります: 1 次の多項式と実根を持たない次数 2 の多項式: 実係数を持つ任意の多項式 P は次のように因数分解できます。$$ {\ \R[X]} $$1 次の多項式 (その根は P の実根である) および/または実根のない次数 2 の多項式 (その根は で 2 行 2 列で共役) の積として$$ {\ \mathbb{C}} $$、は P の非実根です)。
例
多項式を考えてみましょう
$$ {X^4-1 \,} $$
係数を含む$$ {\ \R} $$
または$$ {\mathbb{C}} $$
。- 注目すべきアイデンティティ$$ {a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \,} $$与えられた:
- $$ {X^4-1=(X^2+1)(X^2-1) \,} $$
- それから ：
- $$ {\ X^4-1=(X^2+1)(X-1)(X+1)} $$。
- これは、次の係数を持つ既約因数の積因数分解です。 $$ {\ \R} $$。
- の係数を持つ既約因数の積への因数分解$$ {\mathbb{C}} $$東 ：
- $$ {\ X^4-1 = (X+i)(X-i)(X-1)(X+1)} $$。
