保守的な力について詳しく解説

この力によって生み出される仕事が、その作用点がたどる経路から独立しているとき、その力は保守的であると言われます。そうでない場合、それは非保守的と呼ばれます。

このタイプの力には、次の 3 つの注目すべき特性があります。

1. 保存的な力の作用のみを受けるシステムの機械的エネルギーは保存されます。
2. スカラーフィールドがあります
   $$ {U\,} $$
   、ポテンシャルとも呼ばれ、力が書かれるように
   $$ {\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U\,} $$
   。
3. 保存力の作用点が点 A から点 B に移動すると、仕事は
   $$ {W\,} $$
   問題の力はポテンシャルから単純に得られます。
   $$ {U\,} $$
   :
   $$ {W=U(A)-U(B)\,} $$
   。

保守勢力と非保守勢力の一般的な例

• 電位から生じる電気力。
• 重力ポテンシャルに由来する重力。
• ローレンツ力^{[ 1 ]}は機能しませんが、潜在力に由来するものではないため、保守的な力のカテゴリーには入れません。
• 摩擦力は、固体摩擦であろうと流体摩擦であろうと、その仕事はシステムがたどる経路に明示的に依存するため、保存的な力ではありません。
• 進化中にエネルギーがシステムの外部の環境に伝達されるため、圧力は保存的ではありません。

たどる道の独立性

物質粒子が点 A から点 B に移動し、力がかかるとします。

保守的であれば、この力によって生成される仕事は、固体がたどる経路に依存しません。したがって、点 A と点 B を結ぶ 2 つの軌道C ₁とC ₂では、力は同じ仕事を提供します。

$$ {W=\oint_{C_1}\vec{F}\cdot\vec{dl}=\oint_{C_2}\vec{F}\cdot\vec{dl}} $$

この特性の直接の結果は、閉じた軌道の場合 (粒子が初期位置に戻る場合)、保存力の仕事はゼロになるということです。

保守勢力の可能性

可能性の存在

ここで、その適用点の位置に応じた保守的な力、つまり次のような力を考えてみましょう。

座標の関数のいずれか 、 そしてその後、たどるパスの独立性により、閉じた軌道が何であれ、 、力の仕事はゼロです。

$$ {W=\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}(x,y,z)\cdot\vec{dl}=0} $$

ここからストークスの定理に従って次のように推測します。

。この最後の関係は、スカラー場の存在を意味します。 のような ：

$$ {\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U} $$

QED 。

フィールド

は力ポテンシャルと呼ばれ、エネルギーと均一です。その定義によれば、フィールドはは定数まで定義されます。後者の値は一般に任意であり、その場合、計算を簡素化するために選択されます。

フィールドの例は、可能性に関する記事に記載されています。

相互

逆に、力を考えてみましょう

可能性から導き出す :

$$ {\vec{F}=-\vec{\nabla}\,U=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U} $$

それに気づいて

が全微分である場合、力の仕事は次の式をとることがわかります。

$$ {W=\oint_{A}^{B}\vec{F}\cdot\vec{dl}=\oint_{A}^{B}-\vec{\nabla}\,U\cdot\vec{dl} =-\oint_{A}^{B}dU=U(A)-U(B)} $$

したがって、仕事は点 A と B におけるポテンシャルの値にのみ依存します。したがって、ポテンシャルから派生する力の仕事はたどる経路には依存せず、そのような力は保守的です。 QED。

機械的エネルギーの保存

保存力は、保存力の作用を受けるシステムの機械的エネルギーが一定であるため、そのように呼ばれます。つまり、システムのエネルギーは保存されます。

この特性は、運動エネルギー定理の直接の結果です。固体が移動する場合、点 A と点 B を結び、保守的な潜在力を受ける軌道

、一方では、運動エネルギーの変化と力の仕事が等しいことがわかります。

$$ {E_c(B)-E_c(A)=W\,} $$

一方、点 A と点 B の間のポテンシャルの変化から得られる保存力の仕事は次のようになります。

$$ {W=U(A)-U(B)\,} $$

そこからすぐに次の等式が導き出されます。

$$ {E_c(B) + U(B)=E_c(A) + U(A)\,} $$

したがって、運動エネルギーとポテンシャルの合計は保存されることがわかります。この量はまさにシステムの機械エネルギーです。上の式は、総エネルギーが運動エネルギーとポテンシャルの間で分配され、したがって一方から他方へ連続的に伝達できることを明確に示しています。だからこそ可能性が

位置エネルギーとも呼ばれます。これは、運動エネルギーに潜在的に変換できるエネルギーです。

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