数学的期待について詳しく解説

希望: 幸運または平均リスクの指標

数学的期待値は、運任せのゲームの公平性の程度を測定するために使用される数値です。これは、利益 (または損失) の確率で重み付けされた利益 (および損失) の合計に等しくなります。

ルーレットの例: 完全な数字をプレイすると、37 分の 1 (数字は 0 から 36 まで) の確率で、最初の賭け金の 36 倍が当たります。したがって、10 ユーロを賭けた場合の期待利益は次のようになります。

$$ {-10 + \frac{10 \times 36}{37} = -0,27} $$

(10 ユーロの賭け金は 1 に等しい確率で消費されます)

このスコアは、平均して、カジノで各ゲームで 27 セントを失うことを示しています。期待値が 0 に等しい場合、ゲームは公平であると言います。

数学的な期待と合理的な選択

場合によっては、数学的期待の兆候が合理的な選択と一致しないことがあります。たとえば、誰かがあなたに次のような命題をしたとします。2 つのサイコロでダブル 6 を転がすことができれば、100万ユーロを勝ち取りますが、そうでなければ 10,000 ユーロを失います。プレイを拒否される可能性が高いです。ただし、このゲームの期待はあなたにとって非常に有利です。ダブル 6 を引く確率は 1/36 です。したがって、次のようになります。

$$ {\frac{1\,000\,000}{36} – \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055} $$

各ゲームで平均 18,000 ユーロを獲得します。

問題はまさにこの「平均して」にあります。賞金が非常に重要である場合、それは比較的まれにしか発生しないため、最終的に台無しにならないという合理的な保証を得るためには、多数のゲームに参加するのに十分な資金が必要です。 。したがって、賭け金が大きすぎて多数のゲームを実行できない場合、数学的な期待基準は適切ではありません。

リスクプレミアムの影響

数学者のダニエル・ベルヌーイが 1738 年に「サンクトペテルブルクのパラドックス」から、数学的希望を問題への適用に対するリスクのプレミアムと関連付けることにつながるリスク回避のアイデアを導入したのは、破滅のリスクに関するこれらの考察でした。選択の。

特殊なアプリケーション（経済、保険、金融、ゲーム）

• 数学的期待に適用されるリスク プレミアムの概念は、経済学における効用 (およびいわゆる「限界」効用) の概念の起源です。
• 保険料は、契約者の損失に対する数学的な期待よりも高くなります。しかし、まれな出来事が起こった場合に大きな損失を被るこのリスクこそが、彼がこのプランに加入する動機となっているのです。
• 数学的期待値は、他の確率的概念と同様に、事業評価など、金融における評価計算に使用されます。
• 行動ファイナンスは、とりわけ、単純なリスクプレミアムを超え、選択時の数学的期待という合理的な概念を妨げる可能性がある感情的および認知的側面に対処します。
• 保険でリスクを回避するために保険料を支払うのと同じように、私たちは逆に、運任せのゲームでリスクにアクセスするためにお金を支払います（自己資金で賄う必要があるため、常に数学的期待よりも収益が低くなります）。

確率的効用の概念

プレミアムの概念を経由するのではなく、値を任意のペア {ゲイン, 確率} に関連付けて、効用関数を直接確立できます。数学的期待値は、無限ではないにしても、少なくとも非常に大きなリソースを持つプレイヤーの場合に適した、最も単純な効用関数を構成します。

エミール・ボレルは、この効用の概念を採用して、リソースがほとんどないプレーヤーが毎週宝くじを引くことを合理的に選択する理由を説明しました。つまり、対応する損失は実際には定量的なものにすぎず、利益があれば、その利益は定性的なものになります。 、彼の人生全体が変わりました。したがって、この特定のケースでは、100 万分の 1 フランの方がはるかに価値がある可能性があります。

数学的側面

確率変数の数学的期待値は、統計における統計系列の平均に相当する確率です。これはE(X)で示され、 X の期待値を読み取ります。

期待値は、分散と同様に、確率変数の瞬間から計算されます。

数式

期待値は、R (または C) の値を持つ確率変数に対して次のように定義されます。

• 離散変数の場合:
  • _もし
    
    $$ {E(X) = \sum_{i=1}^{n}p_i\, x_i} $$
  • _もし
    
    $$ {E(X) = \sum_{i \in \mathbb{N}}p_i\, x_i} $$
    級数が絶対に収束する場合。
    

(絶対収束により、級数の合計が項の番号付け方法に依存しないことが保証されます)

• 確率密度のある変数の場合:
  • X が確率密度f を持つ場合、
    
    $$ {E(X) = \int_{\mathbb{R}} x\, f(x)\, dx} $$
    この積分が存在するという条件で。
• 確率空間上で測定可能な応用例
  • X が R の (Ω, B, p) の可測マップ、正または P 可測の場合、
    
    $$ {E(X) = \int_{\Omega}X\, dP = \int_{\mathbb{R}}x\, dP_X} $$
    （または
    $$ {\ P_X} $$
    は画像の確率です)。

見積もり

大数の法則により、確率変数 X の N 個の観測値(大きな N) の経験的平均が X の期待値の適切な推定値であると言えます。

中心人物

私たちはよく期待値を確率変数の中心、つまり、その周囲に他の値が分散される値として考慮します。
特に、X と 2a – X が同じ確率法則を持つ場合、つまり、確率法則が a に関して対称である場合、E(X) = a となります。

しかし、法律が非対称である場合、この視点はもはや有効ではありません。これを確信するには、幾何学的法則、特に非対称法則の場合を研究するだけで十分です。 5 回以下のトライで十分な場合はほぼ 0.6、7 回以上のスローが必要な確率は 0.33 です。したがって、X の値は、期待値のどちらの側にも均等に配分されません。