適切な時間 – 定義

導入

相対論では固有時間を「固有時間」と呼びます。

粒子の時間は、この粒子のフレーム内、つまり粒子が動かないフレーム内で測定されます。

特殊相対性理論では、2 つの出来事を分ける適切な時間間隔は、それらが空間内の同じ場所で起こる慣性座標系内でそれらを分ける時間間隔です。

定義と特性

ニュートン力学では、絶対時間との関係で絶対空間における物体の動きを記述します。このフレームワークでは、特定の基準フレーム内の空間座標 ( x, y, z ) によって測定される移動体の位置は、時間tの関数として与えられます。相対性理論では、絶対的な時間は存在せず、時間を空間から分離することはできないと主張しています。それはイベントについて推論し、各イベントは場所 M と時間tによって特徴付けられます。自由に移動する物体に付随するイベントを追跡するとき、私たちは世界線について話します。

宇宙船が宇宙空間を自由に移動している、つまりすべてのエンジンが停止されていると考えてください (したがって、それは慣性座標系です)。客室内にある時計 (この時計がロケット自体の時刻と呼ぶものを与えます) に従って一定の間隔でフラッシュを発すると想像してみましょう。この方法で測定された 2 つの連続するフラッシュ間のローカル時間間隔をΔτ と呼びましょう。次に、他の観測者が自分の前を一定の速度で通過するロケットを見るための別の慣性基準系を考えます。これらの観測者は時計を同期させており、ロケットが自分たちの前を通過するときに発せられる閃光を観察し、時間を記録します。この 2 番目の慣性座標系では、2 つのフラッシュ (2 つのイベント) の間隔は 2 つの数値によって特徴付けられます。フラッシュが発生した 2 つの場所間で観測された空間距離Δ lと、それらの間の時間的距離Δ t です。

アインシュタインの公理の結果は、特殊相対性理論を発見するための原理としても使用できますが、次の等式が得られます。

$$ { c^2 \Delta \tau^2 \,=\, c^2 \Delta t^2 – \Delta l^2 } $$

そしてもちろん、正方形c ² Δτ ²は、ロケット内で何が起こるかのみに依存するため、選択された観測フレームには依存しません。言い換えれば、 Δ lとΔ tの値は追跡システムによって異なりますが、すべての観測者はこのように計算されたΔτ ²の値に同意します。したがって、1、2、… という番号が付けられた異なる慣性系では、次のようになります。

$$ { c^2 \Delta \tau^2 \,=\, c^2 \Delta t_1^2 – \Delta l_1^2 = c^2 \Delta t_2^2 – \Delta l_2^2 = \cdots} $$

以来

$$ { \, c^2 \Delta t^2 = c^2 \Delta \tau^2 + \Delta l^2 \,} $$

外部基準フレームで測定された 2 つのフラッシュ間の観測時間Δtは、常に適切な持続時間Δτよりも長くなります。したがって、ロケット内で発生する 2 つの所定のイベント間の経過時間は、フラッシュが発射される瞬間に一致する他の基準系の外側の時計によって外部で測定される時間よりも常に小さくなります。この時計が遅くなる現象は、有名な双子のパラドックスによって説明されています。

テンソル定式化

計量テンソル

2 つの隣接するイベント E1 と E2 間の基本距離を計算できます。指定された参照系では、E1 と E2 を結ぶベクトルの座標は次のとおりです。

$$ {(dx^\mu)\,=\, (c\cdot dt, dx, dy, dz)} $$

ここで、 μは4つの値0、1、2、3を持つインデックスです。

ローレンツ座標系では、固有時間の 2 乗は次の式で与えられます。

$$ { c^2 d\tau^2=g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu } $$

そして公式と同一化する

$$ {c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2\,} $$

テンソルが

ミンコフスキー指標を表します

$$ {\eta_{\mu \nu} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \ } $$

すべての符号を変更する場合、時間的距離c ² dτ ^{2 の}2 乗ではなく、2 つのイベント間の空間的距離dσ ²の 2 乗を使用することも一般的です。したがって、最初の量は次のように与えられます。

$$ {d\sigma^2 = -c^2 dt^2 +dx^2 +dy^2 +dz^2\,.} $$

最初のケース (時間間隔の 2 乗) では、署名について話します。

$$ {\,\eta_{\mu\nu} = \rm{diagonale}\ (1, -1, -1, -1)} $$

そして、署名の 2 番目 (空間間隔の 2 乗) では、

$$ {\,\eta_{\mu\nu} = \rm{diagonale}\ (-1, 1, 1, 1)\,.} $$