導入
シャウダーの定理は、ポーランドの数学者ジュリアス シャウダーによって 1930 年に証明され、微分方程式の解の存在を証明することに関与する強力な不動点定理です。
声明
E を正規化されたベクトル空間とする
$$ {\mathbb{R}} $$
、 $$ {\mathcal{C}} $$
Eの空でない部分、凸型、閉じた有界の部分。- T がCからCへの連続写像であり、 T ( C )が比較的コンパクトである場合、 T は固定小数点を持ちます。
証拠
注意しましょう
$$ {||\cdot||_E} $$
Eの標準。 $$ {\varepsilon > 0} $$
$$ {T(C) \subset \bigcup_{1 \leq i \leq N_\varepsilon} B_{E,||\cdot||_E}^{\prime} \Big( e_i^\varepsilon, \frac{\varepsilon}{2}\Big)} $$
次に、すべてを定義します
$$ {i \in \{1, 2, \dots, N_{\varepsilon}\}} $$
Cのマップπ i ,ε $$ {\mathbb{R}} $$
による ： $$ {\forall e \in C, \pi_{i,\varepsilon} (e) = \max \Big(0, \varepsilon – ||T(e) – e_i^\varepsilon||_E\Big) } $$
これらのアプリケーションはそれぞれ実際に継続的です。次に、継続的アプリケーションを定義します。
$$ {T_\varepsilon} $$
による ： $$ {\forall e \in C, T_\varepsilon(e) = \frac{\sum_{i=1}^{N_\varepsilon} \pi_{i,\varepsilon}(e)e_i^\varepsilon}{\sum_{i=1}^{N_\varepsilon} \pi_{i,\varepsilon}(e)}} $$
$$ {\pi_{i,\varepsilon}(e) > 0} $$
$$ {\varepsilon – ||T(e) – e_i^\varepsilon||_E > 0} $$
$$ { ||T_\varepsilon(e) – T(e)||_E \leq \Big( \sum_{i \in J} \pi_{i,\varepsilon}(e) \Big)^{-1} \Big( \sum_{i \in J} \pi_{i,\varepsilon}(e) ||e_i^\varepsilon – T(e)||_E\Big) \leq \varepsilon } $$
それでは聞いてみましょう
$$ {H_\varepsilon = C \cap (\mathbb{R}e_1^\varepsilon + \cdots + \mathbb{R}e_{N_\varepsilon}^\varepsilon)} $$
。まさにその定義は、 $$ {T_\varepsilon} $$
私たちにそれを保証します$$ {T_\varepsilon(H_\varepsilon) \subset H_\varepsilon} $$
。 $$ {H_\varepsilon} $$
部分空間に含まれる、閉じた有界の凸対称サブセットです。 $$ {G = \textrm{vect} H_\varepsilon} $$
有限次元の$$ {P \leq N_\varepsilon} $$
。したがって、以下から抽出できます。 $$ {H_\varepsilon} $$
基地$$ {(e_1, \dots, e_P)} $$
G著さて、次のように仮定してください$$ {H_\varepsilon} $$
3 つ以上の要素が含まれています。それで$$ {P \geq 1} $$
。中に0があることを示しましょう$$ {H_\varepsilon} $$
、 Gの一部とみなされます。 G上のノルムが等しい ( Gは有限次元である) ため、次のように定義されるノルムN を考慮できます。 $$ {N\Big(\sum_{1 \leq i \leq P} x_ie_i\Big) = \sum_{1 \leq i \leq P} |x_i| } $$
。もし$$ {N(x) \leq 1} $$
、書くことができます$$ {x = \sum_{i=1}^P x_ie_i} $$
、 または$$ {\sum_{i=1}^P |x_i| \leq 1} $$
。次に、 x i = δ i |と設定しましょう。 ｘ i | 、 または$$ {\delta_i = \pm 1} $$
、 それで$$ {x = \sum_{i=1}^P |x_i| (\delta_i e_i)} $$
、したがって、 x はδ i e iの凸重心です。 $$ {H_\varepsilon} $$
（私たちはそれを思い出します$$ {H_\varepsilon} $$
対称で凸状です）。その結果、 $$ {H_\varepsilon} $$
中心 0、半径 1 のNのボールが含まれています。0 はかなり内側にあります$$ {H_\varepsilon} $$
Gのマップρ を次のように定義します。
$$ {\mathbb{R}^+} $$
式によると： $$ {\forall a \in G, \rho(a) = \inf \Big\{ \eta \in \R_+^*, \frac{1}{\eta} a \in H_\varepsilon \Big\}} $$
まず、 0 はGの内部に属するため、関数ρ は明確に定義されます。これがGの標準であることを (退屈ではあるが難しくない推論によって) 示します。その単位球は他ではありません。
$$ {H_\varepsilon} $$
。それで$$ {H_\varepsilon} $$
の単位球と同相です$$ {\mathbb{R}^P} $$
( P = 0の場合は明らかです)、Brouwer の不動点定理を直接適用すると、ベクトルが存在することがわかります。 $$ {e_\varepsilon \in H_\varepsilon} $$
のような$$ {T_\varepsilon(e_\varepsilon) = e_\varepsilon} $$
。この長い推論をすべて次のことに適用できます。
$$ {\varepsilon = \frac{1}{n+1}} $$
の場合、次のような C の要素シーケンス( x n )が得られます。一方、私たちはそれを知っています。 T ( C )は比較的コンパクトなので、
$$ {\overline{T(C)}} $$
がコンパクトなので、 ( T ( x n ))から収束部分列( T σ( n ) )を抽出できます。その限界に注目してみましょう。 $$ {\lim_{n \to \infty} T_{\frac{1}{\sigma(n+1)}}(x_{\sigma(n)}) = e} $$
したがって、 T ( e ) = e 。 e はCにあるため、 $$ {\overline{T(C)} \subset \overline{C} = C} $$
。