導入
統計学において、コピュラは確率論からの数学的オブジェクトです。コピュラを使用すると、次の値を持つ確率変数の異なる座標間の依存関係を特徴付けることができます。
$$ {\R^d} $$
限界法則を気にすることなく。
コピュラの確率的側面
コピュラは分布関数であり、次のように表されます。
$$ {\mathcal{}C} $$
に設定します$$ {\mathcal{}[0,1]^d} $$
マージンが均一である$$ {\mathcal{}[0,1]} $$
。特徴付けは次のとおりです$$ {\mathcal{}C(u_1,…,u_d)=0} $$
コンポーネントの 1 つが$$ {\mathcal{}u_i} $$
ゼロです、 $$ {\mathcal{}C(1,…,1,u_i,1,…,1)=u_i} $$
、 そして$$ {\mathcal{}C} $$
東$$ {\mathcal{}d} $$
– 増加しています。次元2では、
$$ {\mathcal{}C(0,v)=C(u,0)=0} $$
すべてのために$$ {\mathcal{}u} $$
そして$$ {\mathcal{}v} $$
、 $$ {\mathcal{}C(u,1)=u} $$
そして$$ {\mathcal{}C(1,v)=v} $$
、すべてについて$$ {\mathcal{}u} $$
そして$$ {\mathcal{}v} $$
、そして最後に、 2の増加特性の結果は次のようになります。 $$ {\mathcal{}C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0} $$
。この成長の概念の解釈は、次のことに注意することによって行われます。
$$ {\mathcal{}(U,V)} $$
配布機能を認めます$$ {\mathcal{}C} $$
、 $$ {\mathcal{}\Pr(u_1
、メジャー$$ {\mathcal{}\Pr} $$
必然的にポジティブになること。スクラーの定理は次のように述べています。
$$ {\mathcal{}C} $$
がコピュラであり、 $$ {\mathcal{}F_1,…,F_d} $$
は (一変量) 分布関数です。 $$ {\mathcal{}F(x_1,…,x_d)=C(F_1(x_1),…,F_d(x_d))} $$
は次元分布関数です$$ {\mathcal{}d} $$
、そのマージンは正確に$$ {\mathcal{}F_1,…,F_d} $$
。そしてその逆の場合は、
$$ {\mathcal{}F} $$
は次元分布関数です$$ {\mathcal{}d} $$
、コピュラが存在します$$ {\mathcal{}C} $$
のような$$ {\mathcal{}F(x_1,…,x_d)=C(F_1(x_1),…,F_d(x_d))} $$
、ここで、 $$ {\mathcal{}F_i} $$
の限界法則です$$ {\mathcal{}F} $$
。これらの限界法則がすべて連続している場合、コピュラは
$$ {\mathcal{}C} $$
は一意であり、次の関係によって与えられます。 $$ {\mathcal{}C(u_1,…,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),…,F_d^{-1} (u_d))} $$
。この場合、ランダムベクトルに関連付けられたコピュラについて話すことができます。 $$ {\mathcal{}(X_1,…,X_d)} $$
。ランダムベクトルのコピュラ
$$ {\mathcal{}(X_1,…,X_d)} $$
はランダムベクトルの分布関数となります。 $$ {\mathcal{}(F_1(X_1),…,F_d(X_d))} $$
、時々注意します$$ {\mathcal{}(U_1,…,U_d)} $$
。統計的側面
統計的な観点から見ると、コピュラはランクの分布のように自然に見えます。
コピュラは、確率計量空間またはファジーロジックで使用されます。
外部リンク
いくつかの古典的なコピュラ
通常のコピュラの中で、コピュラは
$$ {\mathcal{}\Pi(u_1,…,u_d)=u_1…u_d} $$
(独立したコピュラについても説明します)。 $$ {\mathcal{}(X_1,…,X_d)} $$
独立したコンポーネントがある場合に限り、 $$ {\mathcal{}\Pi} $$
ベクトルのコピュラです$$ {\mathcal{}(X_1,…,X_d)} $$
。警官-indep-3d.jpg 独立したコピュラ | 独立したコピュラ |
コモノトーンコピュラ、または最小コピュラは次のように定義されます。
$$ {\mathcal{}M(u_1,…,u_d)=min\{u_1,….,u_d\}} $$
。 $$ {\mathcal{}M} $$
ベクトルのコピュラです$$ {\mathcal{}(X_1,…,X_d)} $$
変化が増加している場合にのみ$$ {\mathcal{}g_{i,j}} $$
のような$$ {\mathcal{}X_i=g_{i,j}(X_j)} $$
。このコピュラは、任意のコピュラに対して次の意味で、 Fréchet- Hoeffdingの上限に対応します。 $$ {\mathcal{}C} $$
、 $$ {C(u_1,…,u_d)\leq M(u_1,…,u_d)} $$
。コモノトーンコピュラ | コモノトーンコピュラ |
コピュラの特に重要なクラスは、次のように定義されるアルキメデスのコピュラです。
$$ {\mathcal{}C(u_1,…,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+…+\phi(u_d))} $$
、 または$$ {\mathcal{}\phi} $$
(アルキメデスのコピュラのジェネレーターと呼ばれる) は少なくとも$$ {\mathcal{}d-2} $$
回連続微分可能、その導関数$$ {\mathcal{}d-2} $$
凸が減少しており、 $$ {\mathcal{}\phi(1)=0} $$
。このジェネレーターは、(正の) 乗算定数までは一意です。比較的大きなサブクラスは次の場合に取得されます。
$$ {\mathcal{}\phi} $$
はラプラス変換の逆変換です (階乗解釈が可能です)。特殊な場合の中には、- 次の場合に得られる独立したコピュラ$$ {\mathcal{} \phi(t) = -\log(t) } $$、
- クレイトンコピュラが得られたとき$$ {\mathcal{} \phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha} } $$、 と$$ {\mathcal{}\alpha\geq -1} $$。この場合、ジェネレーターはガンマの法則のラプラス変換の逆になります。このコピュラは、切り詰めによって不変となる唯一のアルキメデスのコピュラです。
- ガンベルコピュラが得られたとき$$ {\mathcal{} \phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha } $$、 と$$ {\mathcal{}\alpha\geq 0} $$。
生成器は、安定法則のラプラス変換の逆変換になります。このコピュラは、最大安定性の特性を検証する唯一のアルキメデスのコピュラです。
$$ {\mathcal{}C(u^n_1,…,u^n_d)=C^n(u_1,…,u_d)} $$
、すべてについて$$ {\mathcal{}n\geq 1} $$
、- フランク・コピュラが得られたとき$$ {\mathcal{} \phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 } } $$。このコピュラは唯一下尾と上尾が対称になっており、
警官フランク密度.JPG フランクのコピュラ | 警官クレイトン密度.JPG クレイトン・コピュラ | 警官ガンベル密度.JPG ガンベルコピュラ |
フランクのコピュラ | クレイトン・コピュラ | ガンベルコピュラ |
楕円コピュラ…
ガウス コピュラ | 学生のコピュラ (t) |