電磁テンソルについて詳しく解説

導入

電磁テンソル、またはマクスウェル テンソルは、特定の点における電磁場の構造を記述する数学的オブジェクト(テンソル) の名前です。

意味

このテンソルは、特殊相対性理論の数学的形式主義の枠組み内で定義され、時間次元が3 つの空間次元に追加されます。したがって、Vector オブジェクトには 4 つのコンポーネントがあるため、 quadrivectorと呼ばれます。電磁テンソルは 4×4 行列として見ることができ、その要素はベクトルポテンシャルと呼ばれる 4 つのベクトル (通常はAで表されます) によって決定されます。マクスウェル テンソルは通常Fで表され、次の式で与えられます。

$$ {F_{ab} = \partial_a A_b – \partial_b A_a} $$

。

このテンソルは反対称であり、トレースはゼロです。

デュアルテンソル

電磁テンソルは反対称なのでバイベクトルです。その二重バイベクトルF ^*を次の式で推定することができます。

$$ {F^*_{ab} = \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} F^{cd}} $$

、

ここで、ε は Levi-Civita テンソルであり、次のようになります。

$$ {F_{ab}^{*\;(+—)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & c B^x & c B^y & c B^z \\ – c B^x & 0 & \frac{1}{c} E^z & – \frac{1}{c} E^y \\ – c B^y & – \frac{1}{c} E^z & 0 & \frac{1}{c} E^x \\ – c B^z & \frac{1}{c} E^y & – \frac{1}{c} E^x & 0 \end{array}\right)} $$

、

そして

$$ {F_{ab}^{*\;(-+++)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & – c B^x & – c B^y & – c B^z \\ c B^x & 0 & – \frac{1}{c} E^z & \frac{1}{c} E^y \\ c B^y & \frac{1}{c} E^z & 0 & – \frac{1}{c} E^x \\ c B^z & – \frac{1}{c} E^y & \frac{1}{c} E^x & 0 \end{array}\right)} $$

。

どちらの場合も、双対化操作により、電場E をc Bに、磁場B を– E / cに変換することができます。

コンポーネントの表現

電磁テンソルにより、荷電粒子に作用するローレンツ力を再考することが可能になります。この力f は次の式を持ちます。

$$ {{\mathbf{f}} = q {\mathbf{E}} + q {\mathbf{v}} \wedge {\mathbf{B}}} $$

。

特殊相対性理論では、その式は次のようになります。

f ^a = q F ^a _b u ^b 、

ここで、 u は考慮されている粒子の四乗速度です。これにより、デカルト座標系でマクスウェル テンソルの成分を再構築することが可能になります。

$$ {F^a{}_b = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & \frac{1}{c^2} E^x & \frac{1}{c^2} E^y & \frac{1}{c^2} E^z \\ E^x & 0 & B^z & – B^y \\ E^y & – B^z & 0 & B^x \\ E^z & B^y & – B^x & 0 \end{array}\right)} $$

。

Fコンポーネントの式は、使用されるメトリックの署名規則に依存します。これが (+—) タイプである仮説では、次のようになります。

$$ {F_{ab}^{(+—)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & E^x & E^y & E^z \\ – E^x & 0 & – B^z & B^y \\ – E^y & B^z & 0 & – B^x \\ – E^z & – B^y & B^x & 0 \end{array}\right)} $$

。

逆の場合、規則 (-+++) を使用すると、次のようになります。

$$ {F_{ab}^{(-+++)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & – E^x & – E^y & – E^z \\ E^x & 0 & B^z & – B^y \\ E^y & – B^z & 0 & B^x \\ E^z & B^y & – B^x & 0 \end{array}\right)} $$

。

電場Eと磁場B をベクトルポテンシャルの関数として表現すると、これら 2 つの表記法の違いはなくなります。 Fの式は次のようになります。

$$ {F_{xy} = \partial_x A_y – \partial_y A_x} $$

。

規約 (-+++) では、これは次にも対応します。

$$ {F^{(-+++)}_{xy} = \partial_x A^y – \partial_y A^x} $$

。

この式は、 Aの 3 次元回転のzに沿った成分に対応し、マクスウェルの方程式によれば、規約 (-+++) のFの式に従ってB ^zに対応します。同様に、規約 (+—) では、次のようになります。

$$ {F^{(+—)}_{xy} = \partial_y A^x – \partial_x A^y} $$

、

これは、上記の-B ^zに対応します。同様に、私たちも

$$ {F_{xt} = \partial_x A_t – \partial_t A_x} $$

。

慣例 (-+++) では、これは次のように書かれます。

$$ {F^{(-+++)}_{xt} = – c^2 \partial_x A^t – \partial_t A^x} $$

、

したがって、電位V をc ² A ^tに等しいとすると、 xに応じたEの成分に対応しますが、慣例 (+—) では、次のようになります。

$$ {F^{(+—)}_{xt} = c^2 \partial_x A^t + \partial_t A^x} $$

、

これは-E ^xによく対応します。

反変成分は同じ方法で表現されます。

$$ {F^{ab}{}^{(+—)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -\frac{1}{c^2} E^x & -\frac{1}{c^2} E^y & -\frac{1}{c^2} E^z \\ \frac{1}{c^2} E^x & 0 & – B^z & B^y \\ \frac{1}{c^2} E^y & B^z & 0 & – B^x \\ \frac{1}{c^2} E^z & – B^y & B^x & 0 \end{array}\right)} $$

、

そして

$$ {F^{ab}{}^{(-+++)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & \frac{1}{c^2} E^x & \frac{1}{c^2} E^y & \frac{1}{c^2} E^z \\ -\frac{1}{c^2} E^x & 0 & B^z & – B^y \\ -\frac{1}{c^2} E^y & – B^z & 0 & B^x \\ -\frac{1}{c^2} E^z & B^y & – B^x & 0 \end{array}\right)} $$

。