空集合公理は、数学において、公理集合論の可能な公理の 1 つです。その名前が示すように、空集合の存在を仮定することができます。現代のプレゼンテーションでは、これは、理解の公理スキームの一次論理の結果であるため、ツェルメロまたはツェルメロ-フランケルの集合理論の公理の中で言及されなくなりました。
暴露
ツェルメロ・フランケル公理の形式言語では、公理は次のように書かれます。
- $$ {\exists A\ \forall B ( B\not\in A )} $$
言い換えれば:
拡張性の公理を使用して、このセットが一意であることを実証できます。それは空集合と呼ばれ、次のように表されます。
$$ {\empty} $$
または {}。したがって、基本的に、この公理は空集合が存在することを述べています。
空集合と理解図
空集合の存在は理解によって証明できるため、一次理論として見た場合、ツェルメロ集合理論やツェルメロ・フランケル集合理論の公理の一部である必要はありません。実際、一次ロジックでは、基本的なオブジェクト変数 (ここではセット変数) の解釈の領域は空ではありません。空のドメインを考慮するための論理ルールの説明は非常に複雑になります。これにより、推論に新しい変数を導入できるようになります。新しい変数を導入するとすぐに、それがオブジェクトを指定していると想定されます。
したがって、私たちに関係する場合、決して実現されない性質について、理解の公理のスキーマを任意の集合に適用するだけで十分です。yを集合とし、 a ={ x ∈ y | とする。 x ≠ x} は確かに空集合です。つまり、
$$ {\forall x ( x\not\in a )} $$
。