導入
| フィッシャー・スネデコール | |
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| 設定 | |
| サポート | $$ {x \in [0, +\infty[\!} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ {\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!} $$ |
| 分布関数 | $$ {I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!} $$ |
| 希望 | $$ {\frac{d_2}{d_2-2}\!} $$ d 2 > 2の場合 |
| ファッション | $$ {\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!} $$ d 1 > 2の場合 |
| 分散 | $$ {\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!} $$ d 2 > 4の場合 |
| 非対称性（統計） | $$ {\frac{(2 d_1 + d_2 – 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!} $$ d 2 > 6 の場合 |
| 尖度 (標準化されていない) | 本文を参照 |
確率理論と統計において、フィッシャーの法則、フィッシャー・スネデコールの法則、またはスネデコールの F 則は、連続確率法則です。この名前は、統計学者のロナルド・アイルマー・フィッシャーとジョージ・W・スネデコールに由来しています。フィッシャーの法則は、尤度比検定や分散分析( F 検定) などの統計検定における帰無仮説の分布として非常に頻繁に発生します。
特性評価
フィッシャーの法則に従って分布される 実数確率変数は、χ² の法則に従って分布される 2 つの独立した確率変数の商として定義できます。
- $$ {\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}} $$
ここで、 U 1とU 2 はそれぞれ自由度d 1とd 2を持ちます。
フィッシャー分布の確率密度F ( d1 , d2 ) は次の式で与えられます。
- $$ {f(x) = \frac{\left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_2/2}}{x\; \mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)} } $$
任意の実数x ≥ 0 に対して、 d 1とd 2は正の整数、 B はベータ関数です。
関連する分布関数は次のとおりです。
$$ {F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2) } $$
ここで、 I は正規化された不完全ベータ関数です。
期待値と分散はそれぞれ
- $$ {\frac{d_2}{d_2-2}\!} $$
d 2 > 2の場合、および
- $$ {\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!} $$
d 2 > 4の場合。 d 2 > 8の場合、尖度は次のようになります。
- $$ {\frac{20d_2-8d_2^2+d_2^3+44d_1-32d_1d_2+A}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)/12}} $$
または
$$ {A=5d_2^2d_1-22d_1^2+5d_2d_1^2-16.} $$
関連するディストリビューションとプロパティ
- もし$$ {\ X \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)} $$それで$$ {Y = \lim_{\nu_2 \to \infty} \nu_1 X} $$χ² の法則に従って分布します$$ {\chi^2_{\nu_{1}}} $$;
- 法則F(ν 1 ,ν 2 ) は、ホテリングのT 二乗法則と等価です。 $$ {(\nu_1(\nu_1+\nu_2-1)/\nu_2)\operatorname{T}^2(\nu_1,\nu_1+\nu_2-1)} $$;
- もし$$ {X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2),} $$それで$$ { \frac{1}{X} \sim F(\nu_2,\nu_1)} $$;
- もし$$ {X \sim \mathrm{t}(\nu)\!} $$学生法に従って配布される$$ {X^2 \sim \operatorname{F}(1, \nu)} $$;
- もし$$ {X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)} $$そして$$ {Y=\frac{\nu_1 X/\nu_2}{1+\nu_1 X/\nu_2}} $$それで$$ {Y \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2)} $$ベータの法則に従って配布されます。
- もし$$ {\operatorname{Q}_X(p)} $$は次数pの分位数です$$ {X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)} $$そしてそれ$$ {\operatorname{Q}_Y(p)} $$は次数pの分位数です$$ {Y\sim \operatorname{F}(\nu_2,\nu_1)} $$それで$$ {\operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(p)} $$。
一般化
フィッシャーの法則を一般化したものは、非中心フィッシャーの法則です。