導入
ウィクショナリーの「極値」を参照してください。 |
「極値要素」という表現は、「最大要素」または「最小要素」を意味する。
順序付きセットEでは、部分Aの要素がAに属し、 Aの他の要素よりも大きい場合、その要素はAの最大または最大の要素になります。一般に、順序付きセットのどの部分についても最大値の存在は保証されません。一方、存在条件の下では、そのような要素は一意です (これにより、定義における定冠詞「the」の使用が正当化されます)。同様に、最小の要素または最小値は、存在する場合、 Aの他の要素より小さいAの要素です。
一般的な
独自性
Eの部分Aが 2 つの最大値m 1とm 2 を許容する場合、 m 1 はAのどの要素よりも大きく、したがって特にm 2よりも大きくなります。同様に、 ｍ ２はｍ １よりも大きい。順序関係の反対称によって、等式m 1 =m 2が推定されます。
他の概念との比較
順序セットに関連する他の概念は、最大値の概念に近いです。それらを比較すると、より深く理解できるようになります。
- 上限の概念: Eの要素がAのどの要素よりも大きい場合、その要素はAの上限になります。したがって、最大値は特に上限です。
- 上限の概念: 要素がAのすべての上限の中で最小である場合、その要素はAの上限です (したがって、 Aの上限は特定の部分の最小値として定義されます)。 A が最大値を許容する場合、この最大値がAの上限になります。
- 最大要素の概念: Aの要素は、 Aに属する場合、 A内で最大であり、 Aの他の要素よりも劣りません。最大値は常に最大要素であり、2 つの概念は全体の順序を備えたセットで一致します。
最大値が上限であるという事実は明らかです。 A を、最大m を許容するEの一部とする。 M をAの上限のセットとします。最大値m は実際には上限であるため、 Mに属します。 m をAの別の上限とします。次に、 m は(最大値として) Aにあるため、 m は mより劣ります。したがって、 m はMの他の要素より小さいMの要素であり、したがってMの最小値、したがってAの上限になります。
EのA部分の最大値をmとします。 a をmの要素としましょう。この場合、 m は最大値としてaより大きくなります。それも劣っている場合、順序関係の反対称により、 aに等しくなります。これは、 m がAの他の要素よりも劣っていないことを示しており、したがって、実際に最大要素です。ここで、 E が合計次数を備えていると仮定します。 aを部品Aの最大要素とする。 b をAの別の要素とします。次に、順序は合計であるため、 aはbより小さいか、 b はaより小さくなります。 a が最大要素であると想定されているため、最初の可能性は除外されます。したがって、 b はaより小さいです。したがって、 a はAのどの要素よりもはるかに大きく、 Aの最大値も同様です。例
通常の順序で提供される自然数の集合N には、最小の要素、つまり0 が許容されます。一方で、それ以上の要素は認められません。ただし、プロパティにより、 Nだけ増加した部分 (つまり、上限を認める) が最大値を認めることが保証されます。
通常の順序で提供される実数の集合Rでは、特定の増加部分には、より大きな要素が許可されません。たとえば、厳密に0と1 の間の数値の間隔]0,1[です。
非全次数の順序集合では、特定の部分に最大値ではない最大要素が認められます。例えば全体的に
別の例
- 包含関係によって順序付けされた実区間の集合を順序集合Eとします。
- 学習する部分Pとして、以下に含まれる一連の間隔を選択しましょう。 $$ {[-1; 0 [\cup]0 ; 1]} $$。
- Pのすべての要素には空の集合が含まれるため、空の集合はPの下限になります。ここで、空集合はPの要素であるため、その下限および最小要素でもあります。
- Pのすべての要素は区間[-1; 1]これはEの要素ですが、 Pの要素ではありません。したがって[-1; 1]はPの上限ですが、その最大の要素ではありません。すべてにもかかわらず、それは最小限界であり、したがって上限です。
- ]0 より大きいPの要素は存在しません。 1] 。 ]0;したがって、 1] はPの最大要素です。しかし、 Pにはそれに匹敵しない要素が存在します。たとえば、 [1/2; 3/2] 。したがって、 ]0; 1] はPの最大の要素ではありません。そして、正当な理由から、別の明確な最大要素があります: [-1; 0[ 、つまりPには最大の要素がありません。