数学では、クンマー関数として知られる関数がいくつかあります。そのうちの 1 つは、Kummer と ET Whittaker の合流超幾何関数として知られています。もう 1 つは、以下で定義されているように、多重対数関数に関連しています。どちらも数学者エルンスト・クンマーにちなんで命名されました。
クンマー関数は次のように定義されます。
- $$ {\Lambda_n(z)=\int_0^z \frac{\log^{n-1}|t|}{1+t}\;dt} $$。
重複の公式は、
- $$ {\Lambda_n(z)+\Lambda_n(-z)= 2^{1-n}\Lambda_n(-z^2)\,} $$。
これを多重対数を複製する公式と比較してみましょう。
- $$ {\operatorname{Li}_n(z)+\operatorname{Li}_n(-z)= 2^{1-n}\operatorname{Li}_n(z^2)} $$。
多重対数への明示的なリンクは次のように与えられます。
- $$ {\operatorname{Li}_n(z)=\operatorname{Li}_n(1)\;\;+\;\; \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \;\frac{\log^k |z|} {k!} \;\operatorname{Li}_{n-k} (z) \;\;+\;\; \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \;\left[ \Lambda_n(-1) – \Lambda_n(-z) \right]} $$。
出版物
レナード・ルーウィン（編）。多対数の構造特性(1991) プロビデンス、RI: アメリカ数学協会、プロビデンス RI。 ISBN 0-8218-4532-2
