多対数関数(ジョンキエール関数としても知られています) は注目に値する関数であり、すべてのsおよび |z|<1 に対して次のように定義できます。
- $$ {Li_s(z) \equiv \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}} $$
パラメータsと引数zはセットから引き継がれます。
$$ {\mathbb{C}\,} $$
、複素数のセット。特殊なケース s=2 および s=3 は、それぞれ 2 次の多対数または 2 対数、および 3 次の多対数または 3 対数と呼ばれます。多重対数は、フェルミ ディラック分布とボーズ アインシュタイン分布の積分の閉じた形にも現れ、フェルミ ディラック積分またはボーズ アインシュタイン積分として知られることもあります。多重対数は、同様の表記を持つ多重対数関数または整数対数と混同しないでください。多対数は、解析拡張プロセスで許可される上記の定義よりも大きいzの間隔で定義されます。
プロパティ
パラメーターsが整数である重要な場合、それはn (または負の場合は-n ) で表されます。多くの場合、定義すると便利です。
$$ {\mu = \ln(z)\,} $$
ここで、ln は自然対数の主枝です。 $$ {- \pi < \Im(\mu) \le \pi\,} $$
。したがって、すべてのべき乗は単一値であると想定されます。 （例えば$$ {z^s = e^{(s \ln(z))}\,} $$
）。パラメーターsに応じて、多対数は複数の値をとることができます。多重対数の主分岐が選択されます。
$$ {Li_s(z)\,} $$
は実数zに対して実数です、 $$ {0 \le z \le 1\,} $$
z=1 から z=1 までのカットが行われる正の実軸を除いて連続です。 $$ {\infty\,} $$
カットオフによって実軸がzの最も低い半平面に配置されるようにします。に関しては$$ {\mu\,} $$
、これは次のようになります$$ {- \pi < \arg(-\mu) \le \pi\,} $$
。多重対数が不連続になる可能性があるという事実$$ {\mu\,} $$
混乱を引き起こす可能性があります。実際のzと
$$ {z \ge 1\,} $$
、多重対数の虚数部は (Wood) です。 - $$ {\textrm{Im}(Li_s(z)) = -{{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}} $$
カットを越える:
- $$ {\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\textrm{Im}(Li_s(z+i\delta)) = {{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}} $$
多重対数の導関数は次のとおりです。
- $$ {z{\partial Li_s(z) \over \partial z} = Li_{s-1}(z)} $$
- $$ {{\partial Li_s(e^\mu) \over \partial \mu} = Li_{s-1}(e^\mu)} $$
特別な値
以下の「 #他の関数との関係」セクションも参照してください。
sの整数値については、次の明示的な式があります。
- $$ {Li_{1}(z) = -\textrm{ln}\left(1-z\right)} $$
- $$ {Li_{0}(z) = {z \over 1-z}} $$
- $$ {Li_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}} $$
- $$ {Li_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}} $$
- $$ {Li_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}} $$
sのすべての負の整数値に対する多対数は、 zの多項式の比として表すことができます (以下の級数表現を参照)。引数の半整数値の特殊な式は次のとおりです。
- $$ {Li_{1}\left(1/2\right) = \textrm{ln}(2)} $$
- $$ {Li_{2}(1/2) = {1 \over 12}[\pi^2-6(\ln 2)^2]} $$
- $$ {Li_{3}(1/2) = {1 \over 24}[4(\ln 2)^3-2\pi^2\ln 2+21\,\zeta(3)]} $$
または
$$ {\zeta\,} $$
はリーマンゼータ関数です。このタイプの同様の公式は高次では知られていません (Lewin, 1991 p2)。代替表現
- ボーズ アインシュタイン分布の積分は、多重対数で表されます。
- $$ {Li_{s+1}(z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over e^t/z-1} dt} $$
$$ {\Re(s) width=} $$0\、” >、および実際のz を除くすべてのzと$$ {\ge 1\,} $$。この文脈における多重対数は、ボーズ積分またはボース・アインシュタイン積分として知られることもあります。 - フェルミ ディラック分布の積分は、多重対数でも表現されます。
- $$ {-Li_{s+1}(-z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over e^t/z+1} dt.} $$
$$ {\Re(s) width=} $$0\、” >、および実数のzと < -1 を除くすべてのz 。この文脈における多対数は、フェルミ積分またはフェルミ ディラック積分として知られることがあります。(GNU) - 代わりに、多対数は一般に曲線のハンケル積分で表すことができます (Whittaker & Watson セクション 12.22、セクション 13.13)。ポールがある限り$$ {t=\mu\,} $$被積分関数の は正の実軸に接続されておらず、$$ {s \ne 1,2,3\ldots\,} $$、 我々は持っています ：
- $$ {Li_s(e^\mu)={{-\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}-1}}dt} $$
$$ {\Im(t) \le 0\,} $$）。万一に備えて$$ {\mu\,} $$が実数で正である場合、極の制限寄与を単純に追加できます。- $$ {Li_s(e^\mu)=-{{\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}}-1}dt + 2\pi i R} $$
- $$ {R = {{\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}}\over{2\pi}}} $$
- 二乗関係は次の方程式から簡単にわかります(Clunie、Schrödinger も参照):
- $$ {Li_s(-z) + Li_s(z) = 2^{1-s} ~ Li_s(z^2)} $$
他の機能との関係
- z=1 の場合、多対数はリーマンゼータ関数になります。
- $$ {Li_s(1) = \zeta(s)~~~~~~~~~~~~~(\textrm{Re}(s) width=} $$1)” >
- 多重対数は、ディリクレ イータ関数とディリクレベータ関数にリンクされています。
- $$ {Li_s(-1) = \eta\left(s\right)} $$
$$ {\eta(s)\,} $$はディリクレのη関数です。純粋な虚数引数の場合、次のようになります。- $$ {Li_s(\pm i) = 2^{-s}\eta(s)\pm i \beta(s)} $$
$$ {\beta(s)\,} $$はディリクレのベータ関数です。 - 多対数はフェルミ・ディラック積分 (GNU) に相当します。
- $$ {F_s(\mu)=-Li_{s+1}(-e^\mu)\,} $$
- 多重対数は、超越レルヒ関数の特殊なケースです (Erdélyi セクション 1.11-14)
- $$ {Li_s(z)=z~\Phi(z,s,1)} $$
- 多重対数は、次のように Hurwitz ゼータ関数に関連付けられます。
- $$ {Li_s(e^{2\pi i x})+(-1)^s Li_s(e^{-2\pi i x})={(2\pi i)^s \over \Gamma(s)}~\zeta\left (1-s,x\right)} $$
$$ {\Gamma(s)\,} $$はオイラーのガンマ関数です。これは次の場合に有効です- $$ {\textrm{Re}(s) width=} $$1, \textrm{Im}(x)\ge 0, 0 \le \textrm{Re}(x) < 1″ >
- $$ {\textrm{Re}(s) width=} $$1, \textrm{Im}(x)\le 0, 0 < \textrm{Re}(x) \le 1″ >
- Hurwitz のゼータ関数とベルヌーイ多項式の関係を使用すると、次のようになります。
- $$ {\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}} $$
- $$ {Li_{n}(e^{2\pi i x})+ (-1)^n Li_{n}(e^{-2\pi i x}) = -{(2 \pi i)^n\over n!} B_n\left({x}\right)} $$
- $$ {Li_{-n}(z)+ (-1)^n Li_{-n}\left(1/z\right)=0~~~~~n=1,2,3\ldots} $$
- の多対数$$ {\mu\,} $$純粋虚数はクラウゼン関数で表現できる$$ {Ci_s(\theta)\,} $$そして$$ {Si_s(\theta)\,} $$(Lewin、1958 Ch VII セクション 1.4、Abramowitz & Stegun セクション 27.8)
- $$ {Li_s(e^{\pm i \theta}) = Ci_s(\theta) \pm i Si_s(\theta)} $$
- 逆積分正接関数$$ {Ti_s(z)\,} $$(Lewin、1958 Ch VII セクション 1.2) は多重対数で表すことができます。
- $$ {Li_s(\pm iy)=2^{-s}Li_s(-y^2)\pm i\,Ti_s(y)} $$
- ルジャンドルのカイ関数$$ {\chi_s(z)\,} $$(Lewin、1958 Ch VII セクション 1.1、Boersma) は多重対数で表すことができます。
- $$ {\chi_s(z)={1 \over 2}~[Li_s(z)-Li_s(-z)]} $$
- 多重対数は一連の Debye 関数として表現できます。 $$ {Z_n(z)\,} $$(アブラモウィッツ & ステガン派 27.1)
- $$ {Li_{n}(e^\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)} $$
- $$ {Z_n(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Li_{n-k}(e^{-\mu}){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)} $$
シリーズ表現
- 多重対数は次のべき乗の系列として表すことができます。 $$ {\mu=0\,} $$以下の通り：（ロビンソン）。メリン変換を考えてみましょう。
- $$ {M_s(r) =\int_0^\infty \textrm{Li}_s(fe^{-u})u^{r-1}\,du ={1 \over \Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty {t^{s-1}u^{r-1} \over e^{t+u}/f-1}~dt~du} $$
- $$ {M_s(r)={1 \over \Gamma(s)}\int_0^1 b^{r-1} (1-b)^{s-1}db\int_0^\infty{a^{s+r-1} \over e^a/f-1}da = \Gamma(r)\textrm{Li}_{s+r}(f)} $$
- $$ {Li_{s}(e^{-u})={1 \over 2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(r) \zeta(s+r)u^{-r}dr} $$
$$ {\Gamma(r)\,} $$r=0、-1、-2、…、および$$ {\zeta(s+r)\,} $$r=1-s で。残差を合計すると、次のようになります。 μ | < 2πおよび$$ {s \ne 1,2,3,\ldots\,} $$- $$ {Li_s(e^\mu) = \Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!}~\mu^k} $$
- $$ {\lim_{s\rightarrow k+1}\left[ {\zeta(s-k)\mu^k \over k!}+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = {\mu^k \over k!}\left(\sum_{m=1}^k{1 \over m}-\textrm{Ln}(-\mu)\right)} $$
- $$ {\lim_{s\rightarrow 1}\left[ \zeta(s)+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = -\textrm{Ln}(-\mu)} $$
$$ {|\mu|<2\pi\,} $$、次のものがあります。- $$ {Li_{n}(e^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!}\left(H_{n-1}-\textrm{Ln}(-\mu)\right) +} $$
- $$ {\sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!}~\mu^k ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n=2,3,4,\ldots)} $$
- $$ {Li_{1}(e^\mu) =-\textrm{Ln}(-\mu)+ \sum_{k=1}^\infty {\zeta(1-k) \over k!}~\mu^k ~~~~~~~~~~(n=1)} $$
$$ {H_{n-1}\,} $$は高調波数です:- $$ {H_{n-1}\equiv \sum_{k=1}^{n-1}{1\over k}} $$
$$ {-ln(-\mu)\,} $$これを掛けると$$ {\mu^k\,} $$次の場合はゼロに向かう傾向があります$$ {\mu\,} $$k=0 を除き、ゼロに向かう傾向があります。これは、真の対数特異点が存在するという事実を反映しています。$$ {Li_s(z)\,} $$s=1 および z=1 の場合、次のようになります。- $$ {\lim_{\mu\rightarrow 0}\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}=0~~~~~(\textrm{Re}(s) width=} $$1)” >
$$ {B_k\,} $$:- $$ {\zeta(-n)=(-1)^n{B_{n+1} \over n+1}~~~~~~~~~~~(n=0,1,2,3,\ldots)} $$
- $$ {Li_{-n}(z) = {n! \over (-\mu)^{n+1}}- \sum_{k=0}^{\infty} { B_{k+n+1}\over k!~(k+n+1)}~\mu^k ~~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)} $$
$$ {B_1\,} $$、すべてのベルヌーイ数はゼロに等しい。次を使用して項n =0 を取得します。$$ {\zeta(0)=B_1=-\frac{1}{2}\,} $$。 Erdélyi 宗派の等価式にもう一度注目してください。多重対数と対数の主分岐が同時に使用されると仮定すると、1.11-15 は正しくありません。$$ {\ln(\frac{1}{z})\,} $$一様に等しくない$$ {-ln(z)\,} $$。 - 定義された方程式は、曲線ハンケル積分を使用してパラメーターsの負の値に拡張できます (Wood、Gradshteyn & Ryzhik セクション 9.553)。
- $$ {Li_s(e^\mu)=-{\Gamma(1-p) \over 2\pi i}\oint_H{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu}-1}dt} $$
- $$ {Li_s(e^\mu)=\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty (2k\pi i-\mu)^{s-1}} $$
- 負の整数sの場合、多重対数はオイラー数を含む級数として表現できます。
- $$ {Li_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{i=0}^{n-1}\left\langle{n\atop i}\right\rangle z^{n-i} ~~~~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)} $$
$$ {\left\langle{n\atop i}\right\rangle} $$はオイラー数です。 - 負の整数を表す別の明示的な式は (Wood)です。
- $$ {Li_{-n}(z) = \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+k+1}(k-1)!S(n+1,k) \over (1-z)^k} ~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)} $$
限界での行動
次の制限は、多対数 (Wood) に対して引き続き有効です。
- $$ {\lim_{|z|\rightarrow 0} Li_s(z) = \lim_{s \rightarrow \infty} Li_s(z) = z} $$
- $$ {\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_s(e^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)} ~~~~~~(s\ne -1, -2,-3,\ldots)} $$
- $$ {\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_{n}(e^\mu) = -(-1)^ne^{-\mu} ~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)} $$
- $$ {\lim_{|\mu|\rightarrow 0} Li_s(e^\mu) = \Gamma(1-s)(-\mu)^s~~~~~~(s<1)} $$
多対数スケール
Leonard Lewin は、特定の値の多対数に関する多数の古典的な関係の驚くべき一般化を発見しました。これらは現在、多対数スケールと呼ばれています。定義しましょう
$$ {\rho=\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}\,} $$
黄金比の逆みたいに。したがって、スケールからの結果の 2 つの簡単な例は次のとおりです。 - $$ {Li_2(\rho^6)=4Li_2(\rho^3)+3Li_2(\rho^2)-6Li_2(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}} $$
1935年にコクセターによって与えられ、
- $$ {Li_2(\rho)=\frac{\pi^2}{10} – \log^2\rho} $$
ランデンさんから頂きました。多重対数スケールは、K 理論に自然かつ深く現れます。
歴史
ドン・ザギールは、「二対数はユーモアのセンスのある唯一の数学関数である」と述べました。
英語の出版物
- アブラモウィッツ M. およびアイオワ州ステガン (編)、数学関数ハンドブック、国家標準局、1964 年。ドーバー出版、1965 年に再版。
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- ボーウィン、JM。ブラッドリー、DM。ブロードハースト、DJ。およびLisonek、P.「多次元多対数の特別な値」。 CECM-98:106、5 月 14 日。 http://www.cecm.sfu.ca/preprints/1998pp.html\#98:106
- ベルント、BC ラマヌジャンのノート、パート IV。ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 323-326、1994年。
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- エルデリィ、A.マグナス、W.オーバーヘッティンガー、F.および Tricomi、FG 高等超越関数、Vol. 1. ニューヨーク：クリーガー、1981年。
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- GNU Scientific Library – リファレンス マニュアルcf GNU Scientific Library
- Jahnke, E. および Emde, F.、式と曲線を含む関数表、ドーバー、1945 年。
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