数学では、 B スプラインは、最小限のコンパクトなサポートを備えた非負のスプラインの線形結合です。スプラインはベジェ曲線を一般化したものであり、NURBS によって一般化することもできます。
意味
[0,1] にm +1 個のノードt i があるとします。
- $$ {t_0 < t_1 < \ldots < t_m} $$
- $$ {\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{R}^2} $$
n次の B スプライン関数で構成される
- $$ {\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]} $$。
P i は制御点と呼ばれます。
n次のm +1 B スプライン関数は帰納法によって定義されます
- $$ {b_{j,0}(t) := \left\{\begin{matrix} 1 & \mathrm{si} \quad t_j \leqslant t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{sinon} \end{matrix} \right.} $$
- $$ {b_{j,n}(t) := \frac{t – t_j}{t_{j+n} – t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} – t}{t_{j+n+1} – t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).} $$
ノードが等距離にある場合、B スプラインは均一であると言われます。
プロパティ
基底関数の形状はノードの位置によって決まります。
曲線は制御点の凸包の内側にあります。
次数nのB スプライン
- ビ、 n ( t )
区間 [ ti , t i+n + 1 ] で非ゼロです:
- $$ {b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} width=} $$0 & \mathrm{si} \quad t_{i} \leqslant t < t_{i+n+1} \\ 0 & \mathrm{if not} \end{matrix} \right.” >
言い換えれば、制御点を移動すると、曲線の形状は局所的にのみ変更されます。
