集合論は、 19世紀後半にドイツの数学者ゲオルク カントールによって最初に作成された数学の一分野です。
集合論の基本概念は、「要素」、「集合」、「メンバーシップ」の概念です。まずは基本的なオブジェクトを与えることから始めます。これらの基本的なオブジェクトをまとめて、それらが属するセットを形成することができます。したがって、セットは、オブジェクト、つまりそれに含まれる要素(またはメンバー) のコレクションとして見ることができます。セットは、新しいセットの作成を可能にする追加要素として見ることもでき、そのセットを組み合わせてセットにすることもできます。
集合論は激しく論争を巻き起こしましたが、その第一の理由は、集合論が枢機卿を通じて提案した数学的無限の新しいビジョンのためです。
その後、形式化されていないためナイーブと呼ばれるこの理論は、集合に対していかなる演算も制限なく実行できると想定しているため、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスを引き起こすことが判明しました。これらの問題に対処するために、数人の数学者が今回は公理的なアプローチを使用して集合論を再構築しました。
このように、当初は議論があった集合論は、現代数学の基礎理論へと変化しました。後者は、数値や関数などの数学的対象とその性質の存在に関して数学で行われる仮定を正当化するために使用されます。
しかし、カントールの初期理論は、いくつかの調整を加えても、その直観的な側面から興味深いものであり続けました。これが、現在、集合論を 2 つの部分、つまり素朴集合論の領域と公理的集合論の領域に分けている理由です。