もともと、アルキメデスの公理の記述は次のとおりです。「等しくない 2 つの量については、小さい方の整数倍、大きい方の整数倍が常に存在します。 」
その要素が比較可能な特性を検証するアルキメデス構造と呼ばれます。
バンド
( G ,+,≤) を全順序可換群とする。
( G ,+,≤) はアルキメデスの公理を満たすか、次の場合に限りアルキメデスです。
Gの要素がa > 0 およびb ≥ 0 であっても、 n × a ≥ bとなる自然数n が存在します。
指輪
( A ,+,×,≤) を完全に順序付けられた環とします。
( A ,+,×,≤) はアルキメデスの公理を満たすか、可換群 ( A ,+,≤) 自体がアルキメデスである場合に限り、アルキメデスです。
体
( K ,+,×,≤) を全順序フィールドとします。
( K ,+,×,≤) はアルキメデスの公理を満たすか、可換群 ( K ,+,≤) 自体がアルキメデスである場合に限り、アルキメデスです。このようなフィールドは、実数フィールド ( R 、+、×、≤) のサブフィールドです。
備考
この公理は、1899 年にヒルベルトによって提案されたユークリッド幾何学の公理における「連続性のグループ IV」の公理 IV,1 としても使用されます。ヒルベルトは、たとえば、底辺が同じで同じ 2 つの平行四辺形の間の面積が等しいことの証明を示しています。高さには必然的にアルキメデスの公理が使用されます。
ヒルベルトはまた、物体において、可換乗算を仮定しない場合、積のこの可換性は必然的に物体のアルキメデス的性質から生じることも示しています。 ab = baを示すためのアイデアは、任意の小さい要素dを取り、体のアルキメデスの性質を使用してa をndと(n+1)dの間にフレーム化し、 b をmdと(m+1 )dの間にフレーム化することです。 、2 つの整数mとnの場合。このフレームワークを使用して、 ab-baの任意の小さなフレームワークを推定し、この差がゼロであると結論付けます。
例
例1
(
例 2
以下は非アルキメデス環の例です。指輪を考えてみましょう
多項式 Q に係数 ( b 0 , …, b n , …) がある場合、次のようになります。
- P < Q は、すべてのp < kについてa p = b pおよびa k < b kとなるようなk ≥ 0 が存在する場合に限ります。
- P < Q または P = Q の場合に限り、P ≤ Q
(これは多項式の係数の辞書編集順です)
それで （
示された次数では、X は「無限に小さい」です。
参考文献
David Hilbert:幾何学の基礎、Dunod、パリ1971 年または Gabay、1997