導入
半群理論では、ヒル・ヨシダの定理は、無制限演算子のエネルギー散逸特性に関連する強力かつ基本的なツールです。
$$ {A : D(A) \subset X \longrightarrow X} $$
微分方程式の解の存在の一意性と規則性について (E) $$ {\begin{cases} x'(t) = Ax(t) \\ x(0) = x_0 \end{cases}} $$
。
半グループ
半群理論は、有限次元の自律常微分方程式の流れと作用素の指数関数の研究にその起源を負っています。
定義
- X をバナハ空間とする。線形演算子の族と言います$$ {\left(S(t)\right)_{t\geq0}} $$次の場合、 は (強連続) 半群です。
- （私） $$ {\forall t\geq 0, ~ S(t)\in\mathcal{L}(X)} $$
- ( i i ) $$ {S(0) = Id_{\mathcal{L}(X)}} $$
- ( i i i ) $$ {\forall (s,t) \geq 0, ~ S(s+t) = S(s) \circ S(t)} $$
- ( iv ) $$ {\forall x \in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0^+}S(t)x=x} $$
条件( i v ) は以下と同等です。
$$ {\forall x\in X, ~ t \mapsto S(t)x ~ \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,X)} $$
。 ( i v ) を( i v ) *に置き換えると、次のようになります。 $$ {\lim_{t \rightarrow 0^+}||S(t)-Id||_{\mathcal{L}(X)}=0} $$
それは言われています$$ {\left(S(t)\right)_{t\geq0}} $$
は一様に連続している。この定義により、ODE 理論でよく知られている微分同相写像の 1パラメーター族の概念が (漠然とではありますが) 見つかります。
- 強連続半群の無限小生成器( A , D ( A ))を定義します。 $$ {\left(S(t)\right)_{t \geq 0}} $$無制限演算子のような$$ {A : D(A) \subset X \longrightarrow X} $$または：
- $$ {D(A)=\{ x\in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t} \text{ existe}\}} $$
- $$ {\forall x \in D(A), ~ Ax = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t}} $$
D ( A ) = Xの場合、および
$$ {A \in \mathcal{L}(X)} $$
オペレーターの家族$$ {\left(e^{tA}\right)_{t \geq 0}} $$
(古典的にその級数によって定義される) は、無限小生成器Aを持つ強連続半群です。これが、時々誤ってS ( t ) = e t Aと表記される理由です。- セミグループって言うんだよ$$ {\left(S(t)\right)_{t\geq0}} $$の場合は収縮です$$ {\forall t \geq 0, ~ ||S(t)||_{\mathcal{L}(X)}\leq 1} $$。
収縮半群の性質
- 定理 1 : X をバナッハ空間とする、 $$ {\left(S(t)\right)_{t\geq0}} $$X上の短縮半群と( A , D ( A ))の無限小生成器。それで：
- （私） $$ {\forall x \in X} $$流れ$$ {t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,X)} $$
- ( i i ) $$ {\forall x \in X} $$そして$$ {\forall t \geq 0} $$$$ {S(t)x \in D(A)} $$、流れ$$ {t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,X)} $$そしてx ‘ ( t ) = Ax ( t )をチェックします
- ( i i i ) ( A , D ( A ))は密領域で閉じられています。
- 定理 2 (無限小ジェネレータの特徴付け): 次のいずれか$$ {A : D(A) \subset X \longrightarrow X} $$Xの無制限の演算子。以下の等価性が得られます。
- ( i ) ( A , D ( A )) は縮小半群の無限小生成子です
- ( i i ) D ( A )は密であり、任意の初期条件に対して$$ {x_0 \in D(A)} $$解決策は1つだけです$$ {t \mapsto x(t) \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,X)} $$(E)の。
さらに、この仮説の下では、解x ( t ) はD ( A )の値を持ち、次の条件を満たします。
$$ {||x(t)||_X \leq ||x_0||_X} $$
同様に$$ {||x'(t)||_X \leq ||Ax(t)||_X \leq ||Ax_0||_X} $$
（エネルギーの不平等）。問題 (E) と半群の概念との間の関連性が見え始めます。明確にするために、散逸演算子の概念を導入する必要があります。
ヒレ・吉田の定理
声明
- 定理 3 (Hille-Yosida): X をバナッハ空間とし、 $$ {A : D(A) \subset X \longrightarrow X} $$無制限の演算子。私たちは同等性を持っています
- ( i ) ( A , D ( A )) は密な領域を持つ m 散逸です
- ( i i ) ( A , D ( A ))は縮小半群の無限小生成子です
$$ { \forall \lambda > 0 \; \|R_\lambda\| \leq \frac{1}{\lambda} } $$
したがって、これらの仮説の下で、任意の初期条件に対する定理 2に従って、
$$ {x_0 \in D(A)} $$
強力な解決策が 1 つあります$$ {t \mapsto x(t)} $$
で$$ {\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,(D(A),||.||_{D(A)})) \bigcap \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*},(X,||.||_X))} $$
。初期条件がXのいずれかに取られると、弱い解が得られます。 $$ {t \mapsto x(t) = S(t)x} $$
クラスのみ$$ {\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,(X,||.||_X))} $$
(そして、どんな弱い解もX 個の強い解の限界であることを示します)。
解の規則性
解の規則性は、A の定義域の関数としての初期条件の選択に密接に関連していることがわかります。したがって、 x 0により多くの「規則性」を課すことで、解の規則性がさらに高まると考えるのが自然です。 。より正確に言えば、私たちはポーズをとります
$$ {k \geq 2} $$
$$ {D(A^k)=\{x \in D(A^{k-1}), ~ Ax \in D(A^{k-1})\}} $$
。それで、私たちは定理 4 : D ( A k )にノルムを装備できる
$$ {||x||_{D(A^k)}=\sum_{i=0}^k ||A^ix||} $$
これらはバナッハ空間です。また、初期状態の場合$$ {x_0 \in D(A^k)} $$
解決策はクラスです$$ {\mathcal{C}^k(\mathbb{R}^{+*},X)} $$
そして$$ {\mathcal{C}^{k-i}(\mathbb{R}^{+*},D(A^i))} $$
i = 1… kの場合、前のトポロジーの意味で。