導入
数学では、近傍の概念はトポロジーの概念と同等の公理的アプローチに対応します。トポロジは、連続性などのグローバルな概念をより自然に扱います。ここでは、すべての点での連続性として理解されます。一方、点や極限での連続性などの局所的なプロパティの場合、近傍形式の方が単純であることがよくあります。
トポロジカル空間における近傍
位相空間では、点の近傍は、この点を含む開いた部分を含むサブセットです。どちらか
$$ {E\;} $$
位相空間と$$ {a\;} $$
のポイント$$ {E\;} $$
。それでは注意してみましょう$$ {\mathcal V(a)} $$
すべての近所$$ {a\;} $$
。すると次のことに気づくことができます。 - $$ {E\in \mathcal V(a)} $$（それで$$ {\mathcal V(a)\ne\varnothing } $$)
- $$ {A,B\in \mathcal V(a) ~\Rightarrow~ A\cap B\in \mathcal V(a)} $$
- $$ {A\in \mathcal V(a) ~\land~ A\subset B\subset E ~\Rightarrow~ B\in \mathcal V(a)} $$
- $$ {\varnothing\notin \mathcal V(a)} $$
私たちは、次のことを証明しました。
$$ {a\;} $$
にフィルターを形成する$$ {E\;} $$
含めるために。さらに次のことがわかります (オープンはその各ポイントの近傍であるため): $$ {A \in \mathcal V(a)\Rightarrow\exist B \subset A,\quad a\in B} $$
そして$$ {\forall b\in B, B\in\mathcal V(b) } $$
(したがって、次のことがわかります)
$$ {A \in \mathcal V(a)\Rightarrow a\in A\Rightarrow A\neq\varnothing} $$
)近隣データベース
点の近傍のセットは広大です。包含フィルターの分析により、この近傍セットを定義するにはフィルターの基礎のみを知る必要があることがわかります。したがって、フィルターの基本概念から直接推定される定義は次のようになります。 点の近傍の基底
$$ {a\;} $$
セットの$$ {E\;} $$
空ではない家族です$$ {\mathcal W(a)} $$
のサブセットの$$ {E\;} $$
すべてを含む$$ {a\;} $$
そして、次の 2 つの要素の交差が成立するように、 $$ {\mathcal W(a)} $$
の要素が含まれています$$ {\mathcal W(a)} $$
。の近所
$$ {a\;} $$
の要素を含む E の任意のサブセットになります。 $$ {\mathcal W(a)} $$
。近傍から定義されたトポロジ
前のセクションでは、トポロジーの公理が各点の近傍を定義することを示しました。次に、近傍のセットを公理的に定義できます。この定義により、トポロジを定義できるようになります。
どちらか
$$ {E\;} $$
セット。の応用$$ {E\;} $$
で$$ {\mathcal P(\mathcal P(E))} $$
注目した$$ {\mathcal V\;} $$
次の場合に限り、一連の近傍を形成します。- フィルタがオンになっています$$ {E\;} $$含めるために
- $$ {\forall a\in E\quad\forall A \in \mathcal V(a) \quad\exist B \subset A,\quad a\in B} $$そして$$ {\forall b\in B, B\in\mathcal V(b) } $$
次に、次のすべての部分を検討してみましょう。
$$ {E\;} $$
これらはそれぞれのポイントの近傍です。このセットがトポロジを形成します。
例
正の整数の場合
完了することは可能です
$$ {\N} $$
値と一緒に$$ {+\infty\;} $$
。この空間に、値を含む有限集合のすべての補数を含むフレシェ フィルタを関連付ける場合、 $$ {+\infty\;} $$
。それで$$ {+\infty\;} $$
には一連の近隣地域があります。次に、シーケンスの制限を定義できます。 $$ {(u_n)\;} $$
価値を置く$$ {\R} $$
または$$ {\mathbb C} $$
。この数列は次の値に収束します。 $$ {l\;} $$
いつ$$ {n\;} $$
傾向がある$$ {+\infty\;} $$
次の場合にのみ: $$ {\forall \epsilon > 0 \quad \exist N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad |u_n- l|<\epsilon \;} $$
実数の場合
実数のセットにおいて、実数aの近傍を次のように定義します。
- $$ {V\;} $$の近所です$$ {a\;} $$厳密に正の実数が存在する場合に限り、$$ {\mu\;} $$のような$$ {]a – \mu; a + \mu[\, \subset V} $$。引用符で囲まれた間隔は、ポイントの近傍のフィルター ベースを形成します。$$ {a\;} $$。これは、例として扱われる計量空間の特殊なケースであり、このセクションの後で説明します。
次に、関数の限界と連続性の概念を表現してみましょう。
$$ {f\;} $$
に設定$$ {E\;} $$
の実数のサブセット$$ {F\;} $$
位相空間。どちらか
$$ {a\;} $$
接着の要素$$ {E\;} $$
そして$$ {l\;} $$
の要素$$ {F\;} $$
。関数だと言う$$ {f\;} $$
限界がある$$ {l\;} $$
要点まで$$ {a\;} $$
、これは、どの近隣地域にとっても、 $$ {\mathcal V(l)\;} $$
存在します$$ {\mu \;} $$
厳密にそれより大きい$$ {0\;} $$
区間の交点のイメージなど$$ {]a – \mu; a + \mu[\,} $$
と$$ {E\;} $$
に含まれています$$ {\mathcal V(l)\;} $$
。または、もう一度: $$ {\forall V \in \mathcal V(l) \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in ]a – \mu; a + \mu[\;\cap\; E \quad f(x)\in V\quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;} $$
の継続性
$$ {a\;} $$
もし$$ {a\;} $$
の定義ドメインの要素です$$ {f\;} $$
は次のように表現されます。 $$ {\forall V \in \mathcal V(f(a)) \quad \exist \epsilon > 0\quad \forall x \in ]a – \mu; a + \mu[\;\cap\; E \quad f(x)\in V\;} $$
実変数の実関数の場合、次のようになります。
$$ {\forall \epsilon > 0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad |x-a|<\mu \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;} $$
継続性のために、次のものがあります。
$$ {\forall \epsilon > 0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad |x-a|<\mu \Rightarrow |f(x)- f(a)|<\epsilon \;} $$
実線の延長
値を使用して実線を延長することが可能です
$$ {+ \infty } $$
そして$$ {- \infty } $$
。次に、彼らの近隣地域を定義します。- の近所$$ {+ \infty } $$: V は次の近傍です$$ {+ \infty } $$次のような本物のM が存在する場合に限り、$$ {]M; + \infty[\, \subset V} $$
- の近所$$ {- \infty } $$: V は次の近傍です$$ {- \infty } $$次のような本物のM が存在する場合に限り、$$ {]-\infty; M [\, \subset V} $$
注: 前の近傍を延長した実線が実際にトポロジを形成していることがわかります。一方、このトポロジーは通常の距離から推定されるものではありません。実際、実線の極限点は他の点からの距離がありません。
実変数の実関数の場合、次のようになります。
$$ {\forall \epsilon > 0 \quad \exist M \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad x>M \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)=l\;} $$
$$ {\forall \epsilon > 0 \quad \exist M \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad x
メートル空間
すべての計量空間には、推定されたトポロジーが提供されます。確かに、どちらか
$$ {E\;} $$
計量空間、つまり$$ {a\;} $$
のポイント$$ {E\;} $$
そして$$ {r\;} $$
厳密に正の実数。オープンセンターボールのセット$$ {a\;} $$
と半径$$ {r\;} $$
封入用のフィルターベースを形成します。それでは考えてみましょう$$ {\mathcal V(a)\;} $$
このフィルタベースによって生成されたすべてのフィルタを設定します。それではそれを示しましょう$$ {\mathcal V(a)\;} $$
一連の近隣地域を形成します。構築によるセット$$ {V\;} $$
の要素です$$ {\mathcal V(a)\;} $$
センターのあるオープンボールが存在する場合に限り、 $$ {a\;} $$
と半径$$ {r\;} $$
厳密にポジティブ、に含まれる$$ {V\;} $$
。 - $$ {B_r(a) = B(a;r) = \{ x \in X \mid d(x,a) < r \}} $$
- $$ {\mathcal V(a)\;} $$構造上含めるためのフィルターです。
- 任意の要素$$ {V\;} $$の$$ {\mathcal V(a)\;} $$含まれています$$ {a\;} $$中心にボールが含まれているため、$$ {a\;} $$半径は厳密に正です。
- ついになる$$ {V\;} $$の要素$$ {\mathcal V(a)\;} $$。したがって、本物が存在します$$ {r\;} $$オープンセンターボールなど$$ {a\;} $$と半径$$ {r\;} $$に含まれる$$ {V\;} $$。それならどちらでも$$ {b\;} $$このボールの要素。$$ {b\;} $$遠くにあります$$ {d\;} $$の$$ {a\;} $$と$$ {d\;} $$より厳密に小さい$$ {r\;} $$ボールの定義によります。三角不等式により、中心を持ったオープンボールが得られることが保証されます。$$ {b\;} $$と半径$$ {r-d\;} $$センターボールに含まれています$$ {a\;} $$と半径$$ {r\;} $$。
近傍集合の公理が十分に満たされていることを証明しました。これは、次のことを示しています。
$$ {E\;} $$
で$$ {\mathcal P(\mathcal P(E))\;} $$
一連の近隣地域を明確に定義します。開いているものがセットになります$$ {O\;} $$
どのような点でも$$ {a\;} $$
の$$ {O\;} $$
オープンセンターボールがある$$ {a\;} $$
に含まれる$$ {O\;} $$
。
次に、関数の限界と連続性の概念を表現してみましょう。
$$ {f\;} $$
に設定$$ {E\;} $$
で$$ {F\;} $$
計量空間。注意します$$ {d_E(\;\cdot\;)\;} $$
(それぞれ$$ {d_F(\;\cdot\;)\;} $$
) の距離$$ {E\;} $$
(それぞれ$$ {F\;} $$
）。どちらか
$$ {a\;} $$
接着の要素$$ {E\;} $$
そして$$ {l\;} $$
の要素$$ {F\;} $$
。関数だと言う$$ {f\;} $$
限界がある$$ {l\;} $$
要点まで$$ {a\;} $$
、これは、すべてのことについて、 $$ {\epsilon \;} $$
厳密にそれより大きい$$ {0\;} $$
、存在します$$ {\mu \;} $$
厳密にそれより大きい$$ {0\;} $$
、オープンボールの画像と中心の交点が$$ {a\;} $$
と半径$$ {\mu \;} $$
と$$ {E\;} $$
、オープンセンターボールに含まれます。 $$ {l\;} $$
と半径$$ {\epsilon\;} $$
、またはもう一度: $$ {\forall \epsilon >0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\mu \quad \Rightarrow \quad d_F(f(x),l)<\epsilon\quad\Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;} $$
の継続性
$$ {a\;} $$
もし$$ {a\;} $$
の定義ドメインの要素です$$ {f\;} $$
は次のように表現されます。 $$ {\forall \epsilon >0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\mu \quad \Rightarrow \quad d_F(f(x),f(a))<\epsilon\;} $$
全体
$$ {V\;} $$
セットの近所です$$ {S\;} $$
もし、そしてその場合に限り$$ {V\;} $$
のすべての点の近傍です$$ {S\;} $$
。 $$ {V\;} $$
集合の均一近傍と呼ばれます$$ {S\;} $$
光線が存在する場合にのみ$$ {r\;} $$
すべての人にとって、厳密にポジティブである$$ {a\;} $$
の$$ {S\;} $$
、オープンセンターボール$$ {a\;} $$
と半径$$ {r\;} $$
に含まれています$$ {V\;} $$
。例:絶対値から得られる距離を与えられた実数の集合において、集合
$$ {V\;} $$
によって定義されます: - $$ {V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\big(n\,;\,\frac{1}{n + 1}\big),} $$
セットの近所です
$$ {\mathbb{N}} $$
自然数ですが、その近傍が一様ではありません。弱いトポロジ
計量空間に関連付けられていないトポロジがあります。弱いトポロジはその一例です。