導入
トポロジーでは、次の場合、
$$ {(u_n)_{n\in\mathbf{N}}} $$
は集合E内の値のシーケンスであり、シーケンスの付着値( un )は、シーケンスの無限の項が累積する付近のEの点です。これに数学的な意味を与えるには、近接度を測定できなければなりません。それにはEにトポロジを提供する必要があります。接着値の概念は、選択したトポロジによって異なります。すべての点が近傍の可算基底を許容する空間内 (これは特に距離空間の場合に当てはまります。 $$ {\R} $$
または$$ {\C} $$
) シーケンスの接着値は、そのサブシーケンスの限界です。この最後の特性は、接着値の定義としてよく採用されますが、最も一般的な定義と同等ではありません。
実際の結果の事例
という事実
$$ {\R} $$
距離空間により、実際のシーケンスのすべての接着値のいくつかの同等の特性を与えることが可能になります。定義と特徴付け
させて
$$ {(u_n)_{n\in\mathbf{N}}} $$
実数列で実数を持ち、 aに収束する( un )の部分列が存在する場合、 a は( un )の付着値であると言います。これは、次の 2 つのプロパティと同等です。
- $$ {(\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*})(\forall N\in\mathbb{N}) (\exist n\ge N, \;|u_n-a|<\varepsilon)} $$
- $$ {(\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*})} $$全体$$ {\left \{n\in\N,\; |u_n-a|<\varepsilon\right \}} $$は無限です。
2 番目のプロパティは、最初のプロパティを再定式化したものにすぎません。最初のプロパティと定義が同等であることを示すには、 ε は必要に応じて小さくすることができ、これにより に収束する部分列を見つけることが可能になることに注意するだけで十分です。より正確には、次のようなデモがあります。
- 部分系列が存在すると仮定します$$ {(u_{\varphi(n)})} $$これはaに収束し、プロパティ 1 を推定したいとします。ε>0 とします。$$ {N\in\N} $$。収束の定義により、次のような整数N 0が得られます。
- $$ {(\forall n\geq N_0)(|u_{\varphi(n)}-a|<\varepsilon)} $$
次に、 N 0およびNより大きい整数n 0 を選択し、次のように設定します。
$$ {n_1=\varphi(n_0)} $$
。したがって、一方では$$ {|u_{n_1}-a|<\varepsilon} $$
（以来$$ {n_1=\varphi(n_0)} $$
そして$$ {n_0\ge N_0} $$
）そしてその一方で$$ {n_1\ge N} $$
（以来$$ {n_1=\varphi(n_0)\ge n_0\ge N} $$
）。- 逆に、性質 1 を検証する配列を考え、帰納法による抽出を構築します。 $$ {\varphi} $$(つまり、厳密に増加するアプリケーション$$ {\varphi:\N\to\N} $$) サブシーケンスが$$ {(u_{\varphi(n)})} $$次のプロパティをチェックします。
- $$ {(\forall n\in\mathbf{N})\left(|u_{\varphi(n)}-a|<\frac{1}{n+1}\right)} $$
- n = 0の場合、次のようなn 0が存在します。 $$ {|u_{n_0}-a|<1} $$。注意します$$ {\varphi(0)} $$そのような整数。
- このようにして構築された部分列が に収束することが明らかになり、証明が完了します。
$$ {k>\varphi(n)} $$
例
- シーケンス(( − 1) n )では、接着値として1と− 1 が認められます。実際、偶数項は1で一定であり、奇数項は− 1で一定です。
- シーケンス(sin( n ))は、区間[ − 1,1] を付着値のセットとして認めます。これは次の事実から生じます。 $$ {\mathbb{Z}+ 2\pi\mathbb{Z}} $$密集している$$ {\mathbb{R}} $$。
- 数列(( − 1) n n )は、次のような付着力の値を認めません。 $$ {\mathbb{R}} $$。しかし、完成した実線では、同じシーケンスが認められます。$$ {+\infty} $$そして$$ {-\infty} $$粘着力の値として。
- シーケンス(( − 1) n n + n )は固有の付着値として 0 を認めますが、収束しません。完成した実線では、同じシーケンスが認められます。 $$ {+\infty} $$粘着力の値は 0 です。
粘着力の値のセット
これらの例は、シーケンスの接着値のセットが空であるか、1 つ以上の要素、または無限大を含む可能性があることを示しています。
この集合F は常に閉じています。実際、定義の集合定式化は次のようになります。
- $$ {F=\bigcap_{N\in\N}\overline{\left\{u_n,\;n\ge N\right\}}} $$
これは、 Fが閉じたもの同士の交差として閉じていることを示しています。
実数列の場合、この閉じた要素の最小要素と最大要素がそれぞれ数列の下限と上限になります。
