導入
コンドルセのパラドックスは、実際には、純粋な論理的パラドックスというよりは、社会的選択理論、または民主主義におけるジレンマに関連した厄介な問題です。
ニコラス・オブ・コンドルセ
1785 年、ニコラ・ド・コンドルセは主な著作の 1 つである、複数の投票によって下される決定の確率への分析の適用に関するエッセイを出版しました。この著作では、彼はコンドルセのパラドックスを探求しています。これは、多数派の自動推移性の可能性として説明されています。つまり、同じ有権者の間で、同じ選挙中に、多数派が B よりも A を好み、別の多数派が B より C を好む可能性があります。したがって、この投票方法によって国民多数が下した決定は、合理的な個人が下した決定と矛盾することになります。コンドルセ自身も、その著作の中で、自身のパラドックスを解決する方法を明らかにしています。
コンドルセのパラドックスの実際的な重要性
私たちはコンドルセのパラドックスの事例に頻繁に遭遇するのではないかと疑問に思う人もいるかもしれない。 3 つの基準を 3 人の個人 (X、Y、Z) に置き換えて、上記の例 1 を見てみましょう。設定は次のとおりです。
個人 X: C > B > A
個人 Y: A > C > B
個別 Z: B > A > C
オブジェクトA (または 3 人の委員会で議論中のプロジェクトA) が現状維持、B が大幅な変化、C が中程度の変化であると仮定します。個人 X は適度な変化を好みますが、現状に留まりたくありません。個人 Y は現状維持を好みますが、適度な変化にも満足できます。個人 Z は、大幅な変化を望んでいるか、現状に留まることを好みます。この場合、3 人のメンバーからなる委員会はコンドルセのパラドックスに直面します。
X がオブジェクト A と B を最初に戦わせ、次に勝者を提案するとします (B: オブジェクト C の投票のおかげで選ばれます)。
Y がオブジェクト B と C を互いに戦わせ、勝者を A と戦わせることを提案した場合、彼のお気に入りのオブジェクト (A) が選択されます。
Z がオブジェクト A と C を互いに戦わせ、勝者を B と戦わせることを提案した場合、彼のお気に入りのオブジェクト (B) が委員会によって選ばれます。
投票にかける項目の順序を選択する際のこの戦略は、すべての主要グループ間で交代で立法議会の議長を選出するための議論となる。
環境設定を変更するだけで、コンドルセのパラドックスが解消されます。たとえば、Y の好みが A > B > C の場合、投票するオブジェクトの順序に関係なく、選択されるオブジェクトは常に B になります。
すべての好みが同じ確率であり、個人の数が非常に多いと仮定します。コンドルセのパラドックスに遭遇する確率は、議論中のオブジェクトの数に応じて増加します。 3 つのオブジェクト (パラドックスを見つけるための最小値) の場合は 8.77%、すでに 10 個のオブジェクトの場合は 48.87% です。
コンドルセのパラドックスは、選好が単峰性 (単一の頂点で、縦軸に選好の強度がある) の場合には発生しません。たとえば、Y の好みが A > B > C の場合、横軸で ABC の順にプロファイルをたどると、3 人の個人の好みはすべて 1 つの頂点を持ちます。一方、例 1 の場合、すべての優先順位が 1 つの頂点にあるオブジェクトの順序はありません。 ABC 順序では、オブジェクト A の優先度が高く、B の優先度が低いため、2 つの頂点を持つ Y になります (最初の頂点が A、B で最下位に進み、C で 2 番目の頂点の途中に戻ります)。 C は中程度の優先度 (A > C > B)。
