導入
セットが与えられると
$$ {\mathcal C} $$
同じセットXの部分、によって生成された部族$$ {\mathcal C} $$
を含む（包含という意味での）最小の部族です。 $$ {\mathcal C} $$
。留意します$$ {\sigma(\mathcal{C})} $$
。
定義
一連のパーツによって生成されるトライブ
命題と定義— X を集合とし、
$$ {\mathcal C} $$
Xの部分の集合。 Xには (含めるために) より小さな部族があり、次のものが含まれます。 $$ {\mathcal C} $$
。それはによって生み出された部族と呼ばれます$$ {\mathcal C} $$
、そして私たちはそれに気づきます$$ {\sigma(\mathcal{C})} $$
。の存在を簡単に証明します
$$ {\sigma(\mathcal{C})} $$
それをすべての部族の交差点として定義することで、 $$ {\mathcal C} $$
(このようなトライブが少なくとも 1 つ存在するため、この交差には意味があります。つまり、 Xのすべての部分で構成されるいわゆる離散トライブです)。アプリケーションのファミリーによって生成されたトライブ
定義— X をセット、 I をインデックスのセットとし、それぞれを
$$ {i\in I} $$
測定可能な空間$$ {(X_i,\mathcal{A}_i)} $$
そしてアプリ$$ {f_i\,\colon\,X\to X_i} $$
。家族によって生み出された部族を私たちは部族と呼びます
$$ {(f_i)_{i\in I}} $$
相互的なイメージ部族の出会いによって生み出された家族$$ {f_i^{-1}(\mathcal{A}_i)} $$
。留意します$$ {\sigma(f_i, i\in I).} $$
次のことを確認するのは簡単です。
- 生成されたトライブは、すべてのアプリケーションf i を同時に測定可能にする最小のトライブです。
- 注目する$$ {\mathcal A=\sigma(f_i, i\in I)} $$、あらゆる用途に対して、測定可能な空間のg$$ {(Y,\mathcal{B})} $$に向かって$$ {(X,\mathcal{A})} $$、 g は、それぞれの場合にのみ測定可能です。$$ {f_i\circ g} $$バラスト。
再仕上げされた構造
超有限回帰構成法により、より一般的には、部品によって生成されるトライブの記述が可能になります。
$$ {\mathcal{C}} $$
。これは 1898 年にエミール ボレルによって、今日ボレリア族と呼ばれる家族を定義するために適用されました。それを説明するために、まず次のような表記をしましょう。
$$ {\mathcal{F}} $$
セットの一部のセット$$ {\mathcal{F}_{\sigma}} $$
～の要素の可算和集合の集合$$ {\mathcal{F}} $$
そして$$ {\mathcal{F}_{\delta}} $$
可算交差点のセット。最初のアイデアは、決定的ではありませんが、次のようになります。全体から始める
$$ {\mathcal{F}_0} $$
の要素で構成されています$$ {\mathcal{C}} $$
およびその補完物。生成されたトライブの新しい要素を構築するには、クラス内に出現する部分に適用します。 $$ {\mathcal{F}_0} $$
可算和集合と可算積集合の演算: したがって、新しいクラスが得られます。 $$ {\mathcal{F}_1} $$
。を配置して操作を再度開始します$$ {\mathcal{F}_2=(\mathcal{F}_{1})_{\sigma}\cup(\mathcal{F}_{1})_{\delta}} $$
など、誘導によって。成長を続けるスイートの再会を期待する人もいるかもしれない。 $$ {\mathcal{F}_n} $$
という質問に答えます。明らかに空ではありません。 $$ {\mathcal{F}_n} $$
相補的で安定、出会いや無限交差送信の動作$$ {\mathcal{F}_n} $$
で$$ {\mathcal{F}_{n+1}} $$
。しかし、この最後の点は、彼らが会議を派遣するという意味ではありません。 $$ {\mathcal{F}_n} $$
それ自体: セットの可能なシーケンスを考えてみましょう$$ {(A_i)_{i\in\N^*}} $$
ここで、各A i は次の要素です。 $$ {\mathcal{F}_i\setminus\mathcal{F}_{i-1}} $$
。その出会いや交差点がいずれかの場所にあることを保証するものは何もありません。 $$ {\mathcal{F}_n} $$
。ただし、このアイデアは利用できますが、超有限回帰を実行することで構築をさらに推進することが条件となります。次の手順に従って、各序数αに対してΩの部分のセットを定義します。
- $$ {\mathcal{F}_0} $$の要素で構成される集合です$$ {\mathcal{C}} $$およびその補完物。 ;
- 任意の序数αに対して、 $$ {\mathcal{F}_{\alpha+1}=(\mathcal{F}_{\alpha})_{\sigma}\cup(\mathcal{F}_{\alpha})_{\delta}} $$;
- 任意の極限順序βに対して、 $$ {\mathcal{F}_{\beta}=\bigcup_{\alpha<\beta}\mathcal{F}_{\alpha}} $$。
次に、最初の非可算序数としてω 1 を表すと、次のことが簡単に検証できます。
$$ {\sigma(\mathcal{C})=\bigcup_{\alpha <\omega_1}F_\alpha.} $$
- 意味への包含$$ {\supset} $$は簡単です – 超限再帰によって、任意の序数αについて、$$ {\mathcal{F}_{\alpha}} $$に含まれています$$ {\sigma(\mathcal{C})} $$。したがって全体$$ {\bigcup_{\alpha <\omega_1}F_\alpha} $$もです。
- 意味としては$$ {\subset} $$、私たちはそれに気づきます$$ {\mathcal{C}\subset\mathcal{F}_0\subset\bigcup_{\alpha <\omega_1}F_\alpha} $$したがって、この後者のセット自体が部族であることを確認すれば、次のものが含まれることを保証できます。$$ {\sigma(\mathcal{C})} $$。しかし、それは明らかに空ではなく、相補性によって安定しています。$$ {\mathcal{F}_{\alpha}} $$(順序後続への移行にド・モルガンの法則を使用する、超限回帰が簡単)、可算結合による安定性のみに少し注意が必要です。だからどちらか$$ {(A_i)_{i\in\N}} $$の一連の要素$$ {\bigcup_{\alpha <\omega_1}F_\alpha} $$;各iについて、 α i を次のような最小の序数として表します。$$ {A_i\in F_{\alpha_i}} $$、そして最後に入れましょう$$ {\beta=\bigcup_{i\in\N}\alpha_i} $$。可算序数の可算和集合であるβ は、それ自体が可算序数です。これを検証するのは簡単です。$$ {\bigcup_{i\in\N}A_i\in\mathcal{F}_{\beta+1}\subset\bigcup_{\alpha <\omega_1}F_\alpha} $$。可算結合による安定性が証明されています。
X が計化可能な位相空間であり、
$$ {\mathcal{C}} $$
X上のトポロジでは、この構造には変形が認められます。ここでは、上記の手順に従って定義する場合のように、開と閉を混合して繰り返しを初期化する必要はありません。 $$ {\mathcal{F}_0} $$
。実際、metrizability は、閉じたものはすべて G δ (そして開いたものはすべて F σ ) であることを保証するため、次のように漸化式を初期化すると、 $$ {\mathcal{F}_0=\mathcal{C}} $$
すぐに閉店していることに気づきました$$ {\mathcal{F}_1} $$
;もちろん、閉じた初期化のセットから対称的に初期化を選択することもできます。これら 2 つの並列反復を共同で検討することにより、標準化された表記法が導入され、これらの成長するクラス群が記述的集合論で重要な役割を果たします。これがボレル階層と呼ばれるものです。