導入
確率理論における、確率の尺度(または、より簡単には確率)
$$ {\ \mathbb{P}} $$
実数を関連付けるアプリケーションです（注記） $$ {\ \mathbb{P}(A)} $$
）。確率測度は、 確率の公理、またはそれを開発したロシアの数学者アンドレイ ニコライビッチ コルモゴロフにちなんで名付けられたコルモゴロフ公理を満たさなければなりません。確率の尺度
$$ {\ \mathbb{P}} $$
は常に確率空間上で定義されます$$ {\left(\Omega, \mathcal A\right), } $$
つまり、一連の出来事、宇宙Ω 、および部族からなるカップルについて$$ {\mathcal A} $$
宇宙Ωの一部。部族の要素$$ {\mathcal A} $$
はイベントと呼ばれます。したがって、確率の尺度は$$ {\ \mathbb{P}} $$
の応用です$$ {\mathcal A} $$
で$$ {\mathbb R.} $$
最初の公理
あらゆるイベントに
$$ {\ A} $$
: - $$ {0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1.} $$
つまり、事象の確率は0から1の間の実数で表されます。
第三公理
2 行 2 列の互いに素なイベントのシーケンス (2 行 2 列に互換性がないとも言います)、
$$ {A_1,\, A_2, \dots} $$
満足 ： - $$ {\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_i)} $$。
つまり、イベントの（可算）素結合であるイベントの確率は、これらのイベントの確率の合計に等しいということです。これは σ 加法性、または可算加法性と呼ばれます (イベントがペアごとに素でない場合、この関係は一般に真ではなくなります)。
第二公理
$$ {\ \Omega} $$
考慮されたランダム実験に関連する宇宙を指定し、 - $$ {\ \mathbb{P}(\Omega) = 1} $$、
つまり、特定のイベントの確率、または宇宙から何らかの結果が得られる確率は 1 に等しいということです。言い換えれば、基本イベントのいずれかが達成される確率は 1 に等しいということです。
制限の増減
- 増加するイベントのシーケンス$$ {A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots} $$満足 ：
- $$ {\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).} $$
つまり、増加するイベントの (可算) 和集合であるイベントの確率は、これらのイベントの確率の限界に等しいということです。
ポーズをとる
$$ {B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.} $$
次に、 B i は素であり、検証します
$$ {\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}^nB_k=A_n.} $$
σ 加成性と加成性の特性はそれぞれ、次のようになります。
$$ {\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}^n \mathbb{P}(B_k)=\mathbb{P}(A_n).} $$
それで
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n)} $$
は、部分和の限界としての級数の和の定義に他なりません。- イベントの降順シーケンス$$ {A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots} $$満足 ：
- $$ {\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).} $$
つまり、減少するイベントの (可算) 交差であるイベントの確率は、これらのイベントの確率の限界に等しくなります。
結果
公理から、確率を計算するための特定の数の有用な特性が実証されます。次に例を示します。
- $$ {\mathbb{P}(\emptyset)=0.} $$
で第 3 公理を使ってみましょう
$$ {\scriptstyle\ A_k=\emptyset\ } $$
すべてのために$$ {\scriptstyle\ k.\ } $$
取得します$$ {\mathbb{P}(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}(\emptyset),} $$
満たされない関係
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(\emptyset)\in]0,1],\ } $$
それ以来、右側の用語は価値があります$$ {\scriptstyle\ +\infty.\ } $$
それで残っているのは$$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(\emptyset)=0,\ } $$
これも適しています。- もし$$ {\ A} $$、$$ {\ B} $$2 つの互換性のない (またはばらばらの) イベントである場合、
- $$ {\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B).} $$
- より一般的に言えば、 $$ {\ (A_k)_{1\le k\le n}} $$は互換性のない 2 対 2 のイベントのファミリーである場合、
- $$ {\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).} $$
で第 3 公理を使ってみましょう
$$ {\scriptstyle\ A_k=\emptyset\ } $$
すべてのために$$ {\scriptstyle\ k\ge n+1.\ } $$
次のような互換性のないイベントのシーケンスを 2 つずつ取得します。 $$ {\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,} $$
それで
$$ {\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),} $$
しかし、第三の公理により
$$ {\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}\left(A_k\right)} $$
そして最後に、すべてのことについて
$$ {\scriptstyle\ k\ge n+1,\ } $$
$$ {\mathbb{P}\left(A_k\right)=\mathbb{P}\left(\emptyset\right)=0,\ } $$
望ましい結果が得られます。 - $$ {\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) – \mathbb{P}(A \cap B)} $$;
この関係は、A ではなく B が発生する確率が差に等しいことを意味します。
$$ {\mathbb{P}(B) – \mathbb{P}(A \cap B)} $$
。この関係は、B が次の素結合であるという事実から生じます。 $$ {B \setminus A} $$
そしての$$ {A \cap B.} $$
- 特に、 $$ {A \subset B} $$、 それで
- $$ {\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)} $$
これが確率の成長特性です。実際、特定のケースでは、
$$ {A \subset B} $$
、前のプロパティが書き込まれます- $$ {\mathbb{P}(B \setminus A) =\mathbb{P}(B) – \mathbb{P}(A),\ } $$ここで、最初の項は明らかに正またはゼロです。
- B = Ω という特定のケースでは、どのようなイベントに対しても次のようになります。 $$ {\ A} $$、
- $$ {\mathbb{P}(\Omega \setminus A) = 1 – \mathbb{P}(A)} $$
これは、イベントが発生しない確率は 1 からイベントが発生する確率を引いたものに等しいことを意味します。このプロパティは、イベント自体の確率よりも反対のイベントの確率を決定する方が簡単な場合に使用されます。
- すべてのイベントについて$$ {\ A} $$、$$ {\ B} $$、
- $$ {\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) – \mathbb{P}(A \cap B).} $$
これは、イベントAまたはBの少なくとも 1 つが発生する確率が、次の確率の合計に等しいことを意味します。
$$ {\ A} $$
実現します、そしてそれは$$ {\ B} $$
発生するほど、その確率は低くなります。 $$ {\ A} $$
そして$$ {\ B} $$
が同時に行われます。同じく、 - $$ {\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) – \mathbb{P}(B \cap C) – \mathbb{P}(C \cap A) – \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C).} $$
- これらの最後の 2 つの式は、包含-除外原則の特殊なケース (n=2.3) です。
- $$ {\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1
これは、必ずしも素ではないn 個の集合の和集合の確率を与えます。