導入
| 離散均一法則 | |
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| 設定 | $$ {a \in (…,-2,-1,0,1,2,…)\,} $$ $$ {b \in (…,-2,-1,0,1,2,…)\,} $$ $$ {n=b-a+1\,} $$ |
| サポート | $$ {k \in \{a,a+1,…,b-1,b\}\,} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ { \begin{matrix} \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{sinon } \end{matrix} } $$ |
| 分布関数 | |
| 希望 | $$ {\frac{a+b}{2}\,} $$ |
| 中央値（中央） | $$ {a+n/2\,} $$ |
| ファッション | 該当なし |
| 分散 | $$ {\frac{n^2-1}{12}\,} $$ |
| 非対称性（統計） | $$ {0\,} $$ |
| 尖度 (非標準化) | $$ {\frac{9(n^2+1)}{5(n^2-1)}\,} $$ |
| エントロピ | $$ {\ln(n)\,} $$ |
| モーメント発生機能 | $$ {\frac{e^{at}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{kt}\,} $$ |
| 特徴的な機能 | $$ {\frac{e^{iat}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ikt}\,} $$ |
確率理論では、一様離散法則は、可能な値の有限セットの各値で同一の発生確率(等確率) を示す離散確率法則です。
説明
n 個の可能な値k 1 、k 2 、…、k nを等確率で取ることができる確率変数は、任意の値k iの確率が1/nに等しい場合、一様法則に従います。
均一な離散法則の簡単な例は、正直なサイコロの出目です。 kの可能な値は 1、2、3、4、5、6 です。そして、サイコロを振るたびに、与えられた得点が出る確率は 1/6 に等しくなります。
一様離散法則に従う確率変数の値が実数である場合、分布関数を決定論的分布の観点から表現することが可能です。したがって
$$ {F(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}^n H(k-k_i)} $$
ここで、 H(xx 0 ) はヘヴィサイドマーチ関数を示し、 x 0を中心とする決定論的分布の分布関数 (または累積分布) であり、 x 0におけるディラック質量とも呼ばれます。これは、遷移点で十分な仮定が検証されていることを前提としています。
一般的な場合
確率変数
重要な特殊なケース
反対の表は、 n 個の連続する整数のセットに関する統一法則に関するもので、これは統一法則の特定のケースにすぎませんが、重要な特定のケースです。
$$ {\ A\ =\ [\![a,b]\!],\qquad n=b-a+1.} $$
確率と期待値の計算 (一般的なケース)
X が有限集合Aに関する一様法則に従う場合、次の法則があると言われることがあります。
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{U}_A.\ } $$
注意します$$ {\ \mathbb{P}(X=x)\ =\ \mathbb{U}_A(\{x\})\ =\ \frac{1\!\!1_A(x)}{\#A},\ } $$
または
$$ {\scriptstyle\ 1\!\!1_A(.)\ } $$
は集合Aの指標関数を示します。実用的な観点から、 $$ {\ \mathbb{P}(X\in B)\ =\ \sum_{x\in B}\,\frac{1\!\!1_A(x)}{\#A}\ =\ \frac{\#(A\cap B)}{\#A}.} $$
A上で実数値を使用して定義された関数φ の場合、次のようになります。
$$ {\ \mathbb{E}\left[\phi(X)\right]\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\phi(x).} $$
したがって、 φ(X)の期待値は、 Aに対するφの平均値になります。古典的な測定理論の表記法を使用して、これを次のように翻訳します。
$$ {\ \mathbb{P}_X\ =\ \mathbb{U}_A\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\delta_x,} $$
ここで、 δ x はxにおけるディラック質量を示し、前述のヘビーサイド マーチ関数の分布関数を持ちます。