数学では
数学では、シーケンス ( a n ) の母関数は、次のように定義される形式級数です。
- $$ {\sum a_nX^n} $$
生成関数と変数xの関数を混同することがあります。ただし、母関数は何よりも形式的な級数であり、対応する変数xの関数はすべてのxについて収束しない危険性があることを明確にすることは有益です。
- 定数列 1 の生成関数: $$ {\sum X^n = \frac{1}{1 – X}} $$
- シーケンス ( n ) の生成関数: $$ {\sum nX^n = \frac{X}{(1-X)^2}} $$
- シーケンス( n 2 )の生成関数: $$ {\sum n^2X^n = \frac{X(1+X)}{(1-X)^3}} $$
- 数列の母関数$$ {\frac{1}{n!}} $$:$$ {\sum \frac{X^n}{n!} = e^X} $$
また、形式級数によって定義されるシーケンス ( a n ) の指数母関数についても説明します。
$$ {\sum a_n \frac{X^n}{n!}} $$
。代わりにXの逆関数を使用すると、変数z =1 /
$$ {\sum a_n{(1/z)}^n} $$
、信号処理とサーボ制御で広く使用されています。次の式に従って、母関数F ( X ) (指数母関数E ( X ) ) から初期シーケンス ( a n ) を見つけることができます。
- $$ {a_k = \frac{1}{k!} \frac{d^k F}{d X^k}(0) \quad\text{ et }\quad a_k = \frac{d^k E}{d X^k}(0)} $$
確率的には
意味
X を整数の正の確率変数とすると、 Xの生成関数は系列全体になります。
$$ { G_X(t)=\sum _{k=0} ^\infty \mathbb{P}(X=k)t^k,} $$
または
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)\ } $$
は、確率変数X が値kをとる確率です。
通常の法則の生成関数
- パラメータλをもつポアソン則については、次のようになります。 $$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= \frac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\ } $$そして彼は来る
$$ {G_{\lambda}(t)=e^{\lambda(t-1)}\ ;} $$
- パラメータ ( n , p ) の二項法則については、次のようになります。 $$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= C^k _n p^k (1-p)^{n-k}\ } $$そして私たちは推測します
プロパティ
- この系列全体の収束半径は常に 1 以上です。
- 注目すべき点は、
$$ {G_X(t)=\mathbb{E}[t^{ X}].} $$
- X が期待を認めた場合$$ {\scriptstyle\ \mathbb{E}[X]\ } $$それで$$ {\scriptstyle\ G_X\ } $$とその導関数はt=1で定義され、次のようになります。
$$ {\mathbb{E}[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1).} $$
- X が差異を認める場合$$ {\scriptstyle\ \text{Var}(X)\ } $$、したがって希望です$$ {\scriptstyle\ \mathbb{E}[X],\ } $$それで$$ {\scriptstyle\ G_X\ } $$そしてその一次導関数と二次導関数はt=1で定義され、次のようになります。
$$ { Var[X]=\frac{d^2 G_X}{dt^2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) – \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)^2.} $$
- 値を持つ 2 つの実離散確率変数の場合、 $$ {\scriptstyle\ \mathbb{N}\ } $$同じ母関数を認めれば、同じ確率法則が成り立ちます。
- XとY を2 つの整数の正の実数離散確率変数とします。 XとYが独立している場合、次のようになります。
$$ {G_{X+Y}=G_X\times G_Y.} $$
- 注: その逆は誤りです。
- X 1 、 X 2 、…、 X n が独立した確率変数のシーケンスである場合、
$$ {S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,} $$
- ここで、 a i は定数です。
$$ {G_{S_n}(z) = E(z^{S_n}) = E(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_n}(z^{a_n}).} $$
- たとえば、 X iにも同じ法則がある場合 (つまり、同じ生成関数Gがある場合)、
$$ {S_n = \sum_{i=1}^n X_i,} $$
- 生成関数があります:
$$ {G_{S_n} = G^n.} $$
生成関数の構成
次の特性は、ゴルトン・ワトソン過程の研究に特に役立ちます。
定理—しましょう
$$ {\scriptstyle\ (X_n)\ } $$
同じ法則を持つ一連の確率変数と$$ {\scriptstyle\ N\ } $$
ランダム変数、すべての値が含まれます$$ {\scriptstyle\ \mathbb{N}.} $$
- ポーズをとる
$$ {S_N = \sum_{n=1}^{N}X_n= \sum_{n\ge 1}X_n\ 1\!\!1_{\{N\ge n\}}.} $$
- と仮定されます$$ {\scriptstyle\ (N,X_1,X_2,…)\ } $$は独立した確率変数のファミリーです。
それで ：
$$ {G_{S_N}=G_N\circ G_X.} $$
以下の場合に注意してください。
$$ {\scriptstyle\ S_0\equiv 0,\ } $$
そしてもし$$ {S_n = \sum_{k=1}^{n}X_k,} $$
それで
$$ {S_N = \sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}.} $$
したがって、
$$ { \begin{align} G_{S_N}(z) &= \mathbb{E}\left[z^{S_N}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[z^{\sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge 0}\ z^{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[z^{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[z^{S_n}\right]\times\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ G_{S_n}(z)\times\mathbb{P}\left(N= n\right)\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(N= n\right)\times \left(G_{X}(z)\right)^n\\ &= G_N\left(G_X(z)\right). \end{align}} $$
QED
非整数確率変数への一般化
この生成関数の概念は、特性関数によって連続確率変数に一般化されます。もう 1 つの便利な概念は、モーメント生成関数です。