導入
| 二項 | |
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| 設定 | $$ {n \geq 0} $$ テストの数 (整数) $$ {0\leq p \leq 1} $$ 成功の確率 (実際)q = 1 − p |
| サポート | $$ {k \in \{0,\dots,n\}\!} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ {{n\choose k} p^k q^{n-k} \!} $$ |
| 分布関数 | $$ {I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!} $$ |
| 希望 | $$ {np\!} $$ |
| 中央値（中央） | の 1 つ $$ {\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}} $$ |
| ファッション | $$ {\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!} $$ |
| 分散 | $$ {npq\!} $$ |
| 非対称性（統計） | $$ {\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!} $$ |
| 尖度 (標準化されていない) | $$ {\frac{1-6pq}{npq}\!} $$ |
| エントロピ | $$ { \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p q \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) } $$ |
| モーメント発生機能 | $$ {(q + pe^t)^n \!} $$ |
| 特徴的な機能 | $$ {(q + pe^{it})^n \!} $$ |
数学では、パラメーターnとp を持つ二項法則は、次の実験に対応する確率法則です。
パラメーターpを使用したベルヌーイ テストが独立してn回繰り返されます (一般にそれぞれ「成功」と「失敗」と呼ばれる 2 つの可能な結果によるランダムな実験)、成功の確率はp 、失敗の確率はq = (1 − p )です。 。次に、 n 回のテストの終了時に得られた成功の数を数え、この成功の数に対応する確率変数をX と呼びます。
確率変数は、次のように定義される確率則に従います。
- $$ {p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}} $$
この式には、 nの中のk個の要素の組み合わせの数が含まれており、一般に次のように表されます。
- $$ {{n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}} $$
この確率法則はパラメータ (n; p) を持つ二項法則と呼ばれ、 B(n; p)と表されます。
p(k)の計算
ベルヌーイ テストは、宇宙 Ω = {S; の作成につながります。 E}, (S は成功、E は失敗)。
n個の独立したベルヌーイ テストにより、Ω の要素のn組で構成される宇宙 Ω nが作成され、これに基づいて積の確率を定義できます。したがって、 k 回の成功とn – k 回の失敗を伴う偶発性 (S、S、…、S、E、E、…、E) の確率は、値 p k q nkになります。
より一般的には、 k 個の成功とnk 個の失敗で構成されるnタプルは、S と E の出現順序に関係なく、確率 p k q nk を持ちます。
イベント「X = k」は、 k 個の成功とn – k 個の失敗を含むすべてのnタプルで構成されます。組み合わせ論を使用すると、このタイプの n タプルの数を決定できます。n 要素セットのk要素部分と同じ数が存在します。ただし、各部分は、タプルのn個の場所に k 個の成功を配置する方法に対応します。それで、あります
それで
期待値、分散、標準偏差
したがって、 X は、パラメーターpをもつ (同じ)ベルヌーイの法則に従うn 個の独立した確率変数の合計Sと同じ法則を持ちます。確率変数の期待値と分散はその確率則にのみ依存するため、次のように推測されます。
- したがって、E[X] はこれらのベルヌーイ変数の期待値の合計であるか、期待値pと分散p(1-p)を持ちます、つまりE[X]=np
- 同様に、V(X) はn 個のベルヌーイ変数の分散の合計です。つまり、 V(X)=np(1-p)
- $$ {\sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}} $$