円周角と中心角の定理 – 定義

導入

平面ユークリッド幾何学、より正確には円の幾何学では、内接角と中心角の定理により、同じ円弧を横切る内接角と中心角を結び付ける関係が確立されます。

中心角の定理は、円において、中心角は同じ円弧と交わる内接角の 2 倍であると述べています。

内接角定理は前の定理の結果であり、円の同じ円弧と交差する 2 つの内接角は等しいと述べています。

これらの定理には 2 つのバージョンがあり、1 つは幾何学的な角度に関するもので、もう 1 つは方向付けされた角度に関するものです。

円周角と中心角の定理

幾何学的な角度に関するバージョン

したがって、2 つの状況が存在します。1 つは頂点Mの内接角が鋭角であるため、頂点Oの中心の角度が凸である場合 (図 1)、もう 1 つは頂点 M の内接角が鈍角であるため、頂点 O の中心の角度が尖っている場合です。凹角頂点Oの中心 (図 2)。

この定理の証明は 2 つのステップで行われます。

• まず(左上の図) [MD] が直径の場合、次の結果が得られることを示します。
  $$ {2\widehat{AMD}=\widehat{AOD}} $$
  。

実際、次のようなものがあります。

そして三角形AOM は頂点 O を持つ二等辺であるため、次のことがわかります。 したがって平等です。

• 他の時には、A と B の位置がどのような角度であっても、
  $$ {\widehat{AMB}} $$
  角度の和（中央の図）または角度の差（右の図）です
  $$ {\widehat{AMD}} $$
  そして
  $$ {\widehat{DMB}} $$
  そしてそれは角度についても同じになるでしょう
  $$ {\widehat{AOB}} $$
  、角度の和または差
  $$ {\widehat{AOD}} $$
  そして
  $$ {\widehat{DOB}} $$
  。

指向角に関するバージョン

角度を指定すると、プロパティの記述と証明がはるかに簡単になります。

証明は、配向角に関する Chasles の関係と二等辺三角形の性質を使用するだけです。

$$ {(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})\equiv (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM})+ (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OB})\mod {2\pi}} $$

。

三角形 OAM と OBM は二等辺であるため、次のようになります。

そして ： 。

置き換えることにより、以下が得られます。

$$ {(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})\equiv – 2 (\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA}) \mod {2\pi}} $$

$$ {(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})\equiv 2 (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}) \mod {2\pi}} $$

。

この特性は、前述の等式によって点M 、 A 、およびBが整列されない (角度

決してゼロにはなりません）。したがって、三角形MABに外接する円の中心 O’ を考慮して、プロパティの直接の意味を使用できます。

$$ {(\overrightarrow{O’A}, \overrightarrow{O’B})\equiv 2(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}) \mod {2\pi}} $$

したがって、次のようになります。

。

二等辺三角形(OAB)と(O’AB)は同じ底辺と同じ頂点の角度を持っているため、それらは同じであり、 O’ = Oです。点 M は確かに円 Γ 上にあります。

円周角の定理

幾何学的な角度に関するバージョン

角度の頂点が円に属する場合、その角度は円に内接します。遮断するアークは、外向きまたは内向きにすることができます。 2 番目のケースでは、幾何学的角度は鈍角ですが、プロパティは同じ方法で記述されます。

。

この特性は、円周角と中心角の定理の直接的な結果です。
実際、それ以来:

そしてすぐに次のようになります。 。

指向角に関するバージョン

方向付けされた角度の場合、プロパティは点AMBを通過する円の特徴付けになります。

この等号は π までしか当てはまらないことに注意してください。これが、幾何学的な角度が異なる可能性がある理由を説明しています。

弦と接線の角度

内接角の特性は、接線で円弧の範囲を定める弦によって作られる角度に一般化されます。
内接角は、円弧の両端を結ぶ弦と、弦に対して問題の角度の反対側に位置する弦の一方の端の円の接線部分とによって形成される角度に等しい。 。
。
内接角

は、弦 [AB] を伴う A の円の接線 (TT’) によって形成される 2 つの角度に等しくなります。

内接角

角度と同じコード [BA] と接線 [AT] の関係。

内接角

角度と同じ弦[BA]と接線[AT’)の関係。

は内周角の限界位置です M が A に「向かう傾向」があるとき。

デモンストレーション:
H が [AB] の中点である場合、角度は

そして 2 つの辺が 2 つずつ垂直であれば、それらは等しいです。
(OH) は二等辺三角形 BOA の二等分線であり、次のようになります。 そして中心角の半分に等しい 。