ユークリッド アフィン空間のコンテキストにおける一般的な定義
どちらか
$$ {\mathcal{E}\,} $$
ユークリッド アフィン空間、 $$ { \Omega\,} $$
のポイント$$ {\mathcal{E}\,} $$
そして$$ {k \in \mathbb{R}^{*}\,} $$
、その後、任意の点について$$ {M\,} $$
の$$ {\mathcal{E}\,} $$
とは異なる$$ {\Omega\,} $$
、一点あります。 $$ {M’\,} $$
の$$ {\mathcal{E}\,} $$
のような ： - $$ {\Omega\,} $$、$$ {M\,} $$そして$$ {M’\,} $$整列している。
- $$ {\overline{\Omega M} \times \overline{\Omega M’} = k\,} $$(代数値を生成します)。
したがって、中心の反転を定義できます
$$ {\Omega\,} $$
そして報告する$$ {k\,} $$
の応用のように$$ {\mathcal{E}\backslash\{\Omega\}} $$
それ自体が点Mに固有の点を関連付けます$$ {M’\,} $$
前述の特性に対応します。- 分析
- このような点があるとします$$ {M’\,} $$存在します。それで$$ {M\,} $$、$$ {M’\,} $$そして$$ {\Omega\,} $$揃っています。それで、$$ {\exists \lambda \in \mathbb{R}, \overrightarrow{\Omega M’} = \lambda \overrightarrow{\Omega M}} $$。
- そして、好き$$ {\left( \overrightarrow{\Omega M} | \overrightarrow{\Omega M’} \right) = k} $$整列された点の場合、スカラー積は代数値の積と同一であるため、次のようになります。
- $$ {\lambda . || \overrightarrow{\Omega M} ||^2 = k} $$。
- 以来$$ {M\,} $$とは異なります$$ {\Omega\,} $$、次のように書くことができます。
- $$ {\lambda = \frac{k}{|| \overrightarrow{\Omega M} ||^2}} $$。
- 合成
- ポイント$$ {M’ = \Omega + \frac{k}{|| \overrightarrow{\Omega M} ||^2} . \overrightarrow{\Omega M}} $$制約を十分に満たしており、私たちの分析によると、これが唯一のものです。
- 気づいた
- なぜ前の式からの反転を定義しなかったのでしょうか?実際、線に代数的な値がある限り、定義はどのアフィン空間でも有効なままであるためです…
計画中
ユークリッドのアフィン平面内
ユークリッド アフィン平面では、 がわかっていれば点の逆数をコンパスで作成でき、次のことを実証できます。
- モールとマスケローニの定理
- 定規とコンパスを使用する作図は、コンパスのみを使用して行うことができます（直線の一部を描く場合を除く）。
すること
シャルル・ポーセリエの反転装置である「反転機械」の存在も指摘しておきます。
インバータは、固定長の 2 本のバー OP と OQ を備えた機械オブジェクトです。
$$ {r_1\,} $$
および他の固定長の 4 つのバー MP、MQ、M’P、M’Q $$ {r_2\,} $$
ピボット ポイントは OMPQM’ ダイアモンドの頂点にあります。- ポイントとしては$$ {O\,} $$ユークリッド アフィン平面と比率$$ {k = r_1^2 – r_2^2\,} $$、 と$$ {0 < r_2 < r_1\,} $$、中心の反転については、幾何学的逆行列を構築できます。$$ {O\,} $$そして報告する$$ {k\,} $$、クラウンの中心の任意の点から$$ {O\,} $$、内半径の$$ {r_1 – r_2\,} $$、外半径$$ {r_1 + r_2\,} $$次の方法で:
- ワンポイント$$ {M\,} $$与えられた王冠には 2 つの交点があります$$ {P\,} $$そして$$ {Q\,} $$センターサークルの$$ {O\,} $$と半径$$ {r_1\,} $$、中央の円$$ {M\,} $$と半径$$ {r_2\,} $$
- 次に、ユニークポイントを構築します$$ {M’\,} $$のような$$ {PMQM’\,} $$またはダイヤモンド。
- というアプリケーション$$ {M\,} $$マッチ$$ {M’\,} $$まさに求められる逆転です。
- ワンポイント
注：このインバータは、直線運動を円運動に変換するために使用されます。
参照: ChronoMath インタラクティブ図
複雑な平面内で
複素平面では、特定の反転は単位円に関する反転です。複雑な接辞に関しては、アプリケーションによってコーディングされます。
$$ {z \mapsto \frac{1}{\overline{z} }=\frac{z}{|z|^2}} $$
。したがって、この反転は複素共役とホモグラフィーで構成されていることがわかります。これは実際には一般的な結果です。反転円が与えられた場合、3 つの点を選択します。
$$ {z_1, z_2, z_3\,} $$
この円上で、一意のホモグラフィー$$ {f\,} $$
誰が送るのか$$ {z_1, z_2, z_3\,} $$
それぞれに$$ {0, 1, \infty\,} $$
。次に、アプリケーションが$$ {f^{-1} \circ c \circ f\,} $$
、 または$$ {c\,} $$
は複素活用を表し、まさに反転が求められており、同音異義語と複素活用で構成されるその書き方は、次の書き方から生じます。 $$ {f\,} $$
そして$$ {f^{-1}\,} $$
ホモグラフィとして。すること
次に、円形グループとのリンクを作成します。これは、実際には複雑な射影線上で定義され、線と円を線と円上に送信する一連の変換です。複雑な射影線をリーマン球と識別することによって、この保存特性はより簡単に表現されます。保存されるのは、この球上に描かれた円です。反転が循環グループに属することは明らかです。そしてそれが同族異義語についても同じであることを示すのは比較的簡単です。次に、実際に循環群が反転とホモグラフィーによって生成されることを示すことができます。
すること
