導入

セット内の内部三項関係は、このセットの要素を、この同じセットの要素で構成されるペアに関連付けます。

定義

形式的には、内部三項関係は、開始セットが終了セットのデカルト平方である対応関係です。

つまり、内部三項関係

• 開始セット、 E × E ;
• 到着セット、 E ;
• したがって、グラフ GはE ³に含まれており、 Eの要素の 3 つの要素で構成されます。

x 、 y 、 zがEの 3 つの要素である場合、次のようにzがイメージであると書くことができます。

• ( x , y , z ) ∈ G (表記法を設定)

• ( x 、 y 、 z )
  $$ { \mathfrak{R}} $$
  (後置関係表記)

• $$ { \mathfrak{R}} $$
  ( x , y , z ) (接頭辞付き関係表記)

• ( x , y )
  $$ { \mathfrak{R} \,} $$
  z (中置関係表記)

以下では後者の表記法を使用します。

特殊な場合:

• 内部演算は内部の三項関係であり、関数でもあります。

• 内部構成法則は内部の三項関係であり、これも応用です。

例

• 計量空間における等距離関係、つまり距離dが与えられる：

d(A, B) = d(A, C) の場合、点 A は 2 つの点 B および C から等距離にあります。

それは内部構成の操作でも法則でもありません。

• べき乗Exp は次のように定義されます: [( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x ^y ]

それは内部操作です

$$ { \mathbb{R} \,} $$

ただし、曖昧さがある場合にx ^{y に}一意の意味が与えられることを条件とします。それは国内法ではありません

$$ { \mathbb{R} \,} $$

: たとえば、 ( – 1 ) ^{1 / 2 は}意味を持ちません。

$$ { \mathbb{R} \,} $$

。

• 2 つの集合の差Diff: [( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ]。

それは集合の宇宙、または集合のすべての部分における内部法則です。

• 人間の間では、「それぞれが父親であり母親である」という関係は、操作でも内法でもありません。夫婦には子供がいない場合もあれば、複数の子供がいる場合もあります。

• 私たちが子どもの頃に習った 4 つの「演算」 (加算、減算、乗算、除算) は、定義された結果が常に明確であるため、実際に演算です。

逆の三項関係

定義と例

内部三項関係が与えられた集合E を考えます。

反対の三項関係

$$ { \forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) (-\mathfrak{R}) \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,} $$

たとえば、[( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x ^y ] で定義されるべき乗Exp の逆の関係は、関係z = y ^xです。

もう 1 つの例は、2 つの Diff セットの差分です: [( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ]。
その逆の関係は [( A , B )(-Diff) C ] ⇔ [ C = B \ A ] で定義されます。

あるいはまた、人間の間では、「それぞれが父であり母である」という関係は、その反対として「それぞれが母であり、〜の父である」という関係を持っている。

プロパティ

• それぞれの内部三項関係には、反対の関係が 1 つだけあり、その関係は 1 つだけです。
• すべての三項関係は、その反対の反対です。
• 三項関係の反対は、この関係が演算である場合に限り、演算になります。
• 三項関係の反対は、この関係が合成法則である場合に限り、合成法則となります。
• 三項関係は、可換である場合に限り、その反対の関係とマージされます。