集合論では、二項関係は、とりわけ、再帰性と非再帰性という2 つの特性を持つことができます。
- 集合Xの再帰関係R は、 Xのすべてのaについて、 a がそれ自体にR関連する関係です。数学的表記では、これは次のように書かれます。
- $$ {\forall a \in X,\ a R a} $$
- 無反射関係とは、 Xのすべてのaについて、 a がそれ自体にR関連しない関係です。
数学的表記では、これは次のように書かれます。
- $$ {\forall a \in X,\ \lnot (a R a)} $$。
注:関係は反射的または非反射的であると考えること。無反射性は、再帰性の欠如よりも強い状態であるため、関係は反射的であることも、非反射的であることも、どちらでもないこともあります。 「より小さい」または「より大きい」という不等式は非再帰的な関係です。しかし、 a = -bの場合に限りa R bとなるような整数に対する関係R を定義すると、それ自体に関連する要素は 0 だけであるため、それは再帰的でも非再帰的でもありません。
再帰的プロパティを含むプロパティ
Preorder – 推移的でもある再帰的な関係。したがって、さまざまな種類の事前順序と等価関係も再帰的です。
例
反映関係の例をいくつか示します。
- 「等しい」（等しい）
- 「はのサブセットです」（セットの包含）
- 「以上である」:
- 「以下である」:
- 画像:GreaterThanOrEqualTo.png
無反射的な関係の例をいくつか挙げます。
- に等しくありません」
- 「共同第一です」
- 「厳密には次より大きい」:
- 画像:GreaterThan.png
