モールの円 – 定義

導入

モールの円は、1882 年にクリスチャン オットー モールによって提案された、2 次元の応力状態のグラフィック表現です。

横軸が法線応力の大きさ、縦軸がせん断応力の大きさを表すグラフにおいて、モール円は断面が点 P の周りを回転したときの点P における応力状態の軌跡です。は、水平軸を中心とする円であり、その水平軸との交点は、点 P における 2 つの主要な制約に対応します。

この円は、部品が受ける外力の知識に基づいて構築されます。これにより、次のことを判断できるようになります。

• 主な方向性
  $$ {(\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3)} $$
  、主要な制約 σ ₁ 、σ _{2 、}および σ ₃と同様に。
• 最大せん断 τ が得られる方向、つまり、推定破壊の方向 (破壊面の方向)、およびこの応力の値。

問題のある

延性材料の破断 – これは、室温で中程度のひずみ速度の場合、ほとんどの金属の場合です – は常にせん断によって発生します。原子を「引き剥がす」のに必要な力は、原子がそれぞれの原子を滑り抜けるのに必要な力よりもはるかに大きいです。その他(塑性変形を参照)。したがって、部品上の特定の応力について、切断τ (タウ) が最大になるセクションを知る必要があります。

単純なトラクション、つまり単軸トラクションの場合を考えてみましょう。この試験中に、試験片の軸に対して45°の方向から破壊が始まることがわかっています。試験片の直線部分を考慮すると、面積 S ₀があります。適用する力F はこのセクションに垂直であるため、垂直応力 σ ₀が得られます。

$$ {\sigma_0 = \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{S}_0}} $$

そしてゼロせん断。

傾斜したセクションを考えてみましょう。それは面積Ｓ _１を有する。私たちが力を投影するなら

通常のこのセクションでは、垂直抗力を取得します。 。したがって、正規制約 σ _{1 の}価値は次のようになります。

$$ {\sigma_1 = \frac{\mathrm{N}_1}{\mathrm{S}_1}} $$

。

投影すると

断面上で力を得る 。したがって、切断 τ _{1 の}価値はあります。

$$ {\tau_1 = \frac{\mathrm{T}_1}{\mathrm{S}_1}} $$

。

断面の傾斜が大きいほど、T は大きくなりますが、S も大きくなります。分数 τ = T/S は45°に位置するセクションの最大値を示し、これは破断面を説明します。

ここで τ = ƒ(σ)をプロットすると、円、モール円が得られることがわかります。

この例を以下で計算的に繰り返します。

試練

コンクリートの圧縮

以下はコンクリートの圧縮試験の写真で、約 45 度の破断円錐が強調表示されています。

延性金属の引張試験

アルミニウム

以下は、アルミニウム棒 (直径 8 mm) の引張試験の写真です。45 度の線に沿った破断が完全に示されています。

鋼鉄

以下は、10×3 mm の長方形断面を持つ鋼試験片の引張試験の写真です。破断領域付近の +/- 45° の線と、同様に 45° の多数のファセットに注目してください。

軸応力

以下では、牽引または圧縮がx軸、 y軸、および/またはz軸に沿って作用する場合を検討します。

一軸応力

試験片に対して一軸牽引試験を実行し、試験片から点 P で均一に分布した力を受ける無限に小さなプレートを抽出します。

軸に沿った面上で 。平衡状態では、反対側の表面 (軸に沿った向き) ) 努力が必要です 。この状態を反対の図に模式的に示します。

注意させていただきます

努力による点Pの応力表面上の方向に 。そのモジュールに注目します 。同様に、モジュール : _σy = 0 。

考慮した 2 つの表面、方向ではせん断がゼロであることに注意してください。

、 したがって、 は主応力であり、σ _x 、σ _{y は}主応力の値です。

ここで、反対の図に示すように、α だけ回転した面の応力状態を決定します。

次の制約があります。

これは中心のある円の方程式です

と直径σ _x 。円上で -2α 回転すると、物質内では α だけ回転します。反対の表現があります。

せん断が最大であることが観察されます。

±45°の指示に従ってください。これは観察を正当化します。

二軸応力

三軸応力

この場合、制約ベクトルの位置は円上ではなく、円の交点によって区切られた表面上にあるため、この表現はあまり重要ではありません。